Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	2	2	4	2	5	1	3	3	2	3	3	3	3	1	2	3	5	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$.
4. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
5. Ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen.
6. Die Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beschreibung des Durchschnitts von Untergruppen von ${}\mathbb {Z}$.
2. Der Satz über das inverse Element in einer Gruppe ${}(G,\circ ,e)$.
3. Der Satz über das Monotonieverhalten linearer Funktionen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w w w f w f w w f f f

Aufgabe * (2 Punkte)

${}E$ wurde ermordet. Es gelten folgende Sachverhalte.

1. Der Mörder ist ${}A$ oder ${}B$ oder ${}C$ oder ${}D$.
2. Wenn ${}C$ der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder oder ${}A$ ist der Mörder.
3. ${}A,B,C,D$ sind alle verschieden.
4. Es gibt genau einen Mörder.
5. Wenn ${}A$ nicht der Mörder ist, dann ist ${}D$ nicht der Mörder.
6. ${}A$ ist genau dann der Mörder, wenn ${}B$ der Mörder ist.

Wer ist der Mörder?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\setminus C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Die Absetzmulde ist voll mit Schutt und soll durch eine leere Mulde ersetzt werden, die das Absetzkipperfahrzeug bringt, das auch die volle Mulde mitnehmen soll. Auf dem Fahrzeug und auf dem Garagenvorplatz, wo die volle Mulde steht, ist nur Platz für eine Mulde. Dafür kann die Straße als Zwischenablage genutzt werden. Wie viele Ladevorgänge sind vor Ort nötig, bis der Gesamtaustausch vollständig abgeschlossen ist?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}F\colon L\rightarrow M$ und ${}G\colon M\rightarrow N$ injektive Abbildungen. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}G\circ F$ ebenfalls injektiv ist.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

1. Es sei ${}H$ die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

   $\varphi \colon H\longrightarrow H,$

   die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ${}\varphi ^{3}$?
3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge ${}E$ aller Einzelkinder und auf die Menge ${}M$ aller Mütter einschränkt?
4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Wir zählen

${\text{ ich}},\,{\text{ Mama}},\,{\text{ Oma}},\,{\text{Uroma}},\,{\text{Ururoma}},\ldots .$

1. Was ist die Mama der Urururoma?
2. Was ist die Uroma der Uroma?
3. Was ist die Oma der Oma der Oma?
4. Was ist die Ururoma der Uroma?

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die naürliche Additionstabelle bis zu einer bestimmten Zahl ${}n$, also

${}+$	${}1$	${}2$	${}3$	${}\ldots$	${}n-1$	${}n$
${}1$	${}1+1$	${}1+2$	${}1+3$	${}\ldots$	${}1+n-1$	${}1+n$
${}2$	${}2+1$	${}2+2$	${}2+3$	${}\ldots$	${}2+n-1$	${}2+n$
${}3$	${}3+1$	${}3+2$	${}3+3$	${}\ldots$	${}3+n-1$	${}3+n$
${}\ldots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$	${}\vdots$
${}n-1$	${}n-1+1$	${}n-1+2$	${}n-1+3$	${}\ldots$	${}n-1+n-1$	${}n-1+n$
${}n$	${}n+1$	${}n+2$	${}n+3$	${}\ldots$	${}n+n-1$	${}n+n$

Zeige durch Induktion, dass die Gesamtsumme aller in der Tabelle auftretenden Summen gleich ${}(n+1)n^{2}$ ist, also

${}\sum _{1\leq i\leq n,\,1\leq j\leq n}(i+j)=(n+1)n^{2}\,.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Ersetze im Ausdruck

${\text{XYZUWXYZVT}}$

simultan die Buchstaben ${}X$ durch ${}M$, ${}Y$ durch ${}A$, ${}Z$ durch ${}T$, ${}U$ durch ${}H$, ${}V$ durch ${}E$, ${}W$ durch ${}I$, ${}T$ durch ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir rechnen mit den Zahlen ${}0,1,2,{\text{viele}}\,\,(v)$ nach den folgenden Verknüpfungstabellen.

${}+$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}0$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}1$	${}1$	${}2$	${}v$	${}v$
${}2$	${}2$	${}v$	${}v$	${}v$
${}v$	${}v$	${}v$	${}v$	${}v$

und

${}\cdot$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}0$	${}0$	${}0$	${}0$	${}0$
${}1$	${}0$	${}1$	${}2$	${}v$
${}2$	${}0$	${}2$	${}v$	${}v$
${}v$	${}0$	${}v$	${}v$	${}v$

Zeige, dass es sich dabei um einen kommutativen Halbring handelt. Gilt für diesen die Abziehregel?

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}10$ bei Division durch ${}1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe einen Algorithmus, der zu einer beliebigen im Dezimalsystem gegebenen Zahl ${}n\geq 1$ ihren Vorgänger im Dezimalsystem bestimmt.

Aufgabe (3 Punkte)

Professor Knopfloch sorgt mal wieder für allgemeine Verwirrung. Je nach Tageslaune schreibt er

1. ${}{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i+j=s}a_{i}b_{j}\right)}10^{s}\,,$

2. ${}{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}\,,$

3. ${}{\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}\right)}{\left(\sum _{j=0}^{\ell }b_{j}10^{j}\right)}=\sum _{s=0}^{k+\ell }{\left(\sum _{i={\max {\left(s-\ell ,0\right)}}}^{\min {\left(k,s\right)}}a_{i}b_{s-i}\right)}10^{s}\,.$

Welche Schreibweisen sind richtig, welche falsch? Was muss man bei den einzelnen Schreibweisen beachten?

Aufgabe * (3 Punkte)

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei ${}2000$ kcal und ${}100$ Gramm Heidelbeeren enthalten ${}42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt ${}1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Nichtnullteilereigenschaft für einen Körper ${}K$.

Aufgabe (1 Punkt)

Jemand sagt: „Das ist paradox. Einerseits ist doch ${}{\frac {7}{3}}={\frac {14}{6}}$, aber andererseits ist

${}7=2\cdot 3+1\,$

und

${}14=2\cdot 6+2\,,$

die Reste bei der Division sind also verschieden“. Was ist davon zu halten?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

${}{\frac {2}{n}}={\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\,$

in ${}\mathbb {N}$ auch Lösungen ${}a\neq b$ besitzt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien zwei Dezimalbrüche der Form

${}x=0,000\ldots 000a\,$

und

${}y=0,000\ldots 000b\,$

mit ${}a,b\in \{1,2,\ldots ,9\}$ gegeben. Dabei sei die Anzahl der Nullen nach dem Komma von ${}x$ gleich ${}m$ und von ${}y$ gleich ${}n$. Wie viele Nullen nach dem Komma besitzt das Produkt ${}xy$, und wovon hängt das ab?

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ versehen mit der üblichen Addition. Es sei eine weitere Verknüpfung ${}*$ auf ${}\mathbb {Q}$ derart gegeben, dass ${}(\mathbb {Q} ,+,0,*,1)$ ein kommutativer Ring ist. Ferner gelte ${}1*1=1$. Zeige, dass ${}*$ die übliche Multiplikation sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die folgenden Darstellungen von natürlichen Zahlen im Dezimalsystem,

1. ${}8574$,
2. ${}abcd$,
3. ${}a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$,
4. ${}a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$,
5. ${}\sum _{i=0}^{k}a_{i}10^{i}$.

Beschreibe die Abstraktionssprünge und was dadurch erreicht wird.