Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/30/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	2	3	0	7	3	0	2	0	7	1	7	3	4	3	3	0	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Kontraposition zu einer Implikation ${}\alpha \rightarrow \beta$.
2. Eine injektive Abbildung

   $f\colon L\longrightarrow M.$

3. Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
4. Die ${}n$-te Potenz zu einer natürlichen Zahl ${}a$.
5. Eine Gruppe.
6. Eine rationale Zahl.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Isomorphiesatz für Dedekind-Peano-Modelle.
2. Der binomische Lehrsatz für einen kommutativen Halbring.
3. Der Satz über den Vergleich zwischen Stammbrüchen und positiven Zahlen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

Ein Zug fährt ${}100$ Kilometer den Rhein abwärts mit einer Geschwindigkeit von ${}100$ kmh. Auf dem Rhein fahren Schiffe in beide Richtungen, alle mit einer Geschwindigkeit von ${}20$ kmh, wobei sie zu den gleichgerichteten Schiffen einen konstanten Abstand von ${}2$ km einhalten. Zu Beginn der Fahrt ist der Zug gleichauf mit zwei Schiffen (in beide Richtungen).

1. Wie vielen entgegenkommenden Schiffen begegnet der Zug?
2. Wie viele Schiffe überholt der Zug?

Aufgabe (2 Punkte)

In der Klasse 3c wird eine Klassenarbeit geschrieben, jeder Schüler und jede Schülerin bekommt eine Note. Beschreibe diesen Vorgang als ein Abbildung. Was bedeuten injektiv und surjektiv in diesem Fall?

Aufgabe * (3 Punkte)

Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion aus den Dedekind-Peano-Axiomen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Multiplikation und endliche Mengen.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Fußballmannschaft des TSV Wildberg verfügt über drei Torwarte, sieben Verteidigungsspieler, sechs Mittelfeldspieler und vier Angreifer. Im anstehenden Spiel gegen Effringen will sie (neben einem Torwart) mit vier Verteidigern, drei Mittelfeldspielern und drei Angreifern agieren.

1. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es?
2. Wie viele Aufstellungsmöglichkeiten gibt es, wenn man zusätzlich noch berücksichtigt, dass einer der eingesetzten Spieler der Kapitän sein soll?
3. Wildberg geht in der ${}80.$ Minute mit ${}1:0$ in Führung und entschließt sich, die Verteidigung zu stärken, indem zwei Angreifer durch zwei Verteidiger ersetzt werden. Wie viele Auswechlungsmöglichkeiten gibt es dafür?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Heute ist Freitag. Welcher Wochentag war vor ${}1000$ Tagen?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Jonathan (8 Jahre alt) antwortet auf die Frage, was ${}8{\text{ mal }}8$ ist, nach einigem Überlegen mit „achtundachtzig Millionen achthundertachtundachtzigtausend achthundertachtundachzig“. Was hätte er auf die Frage, was ${}7{\text{ mal }}7$ ist, geantwortet?

Aufgabe * (7 (1+2+4) Punkte)

1. Zeige, dass ${}11$ kein Teiler von ${}111$ ist, aber ein Teiler von ${}1111$.
2. Es sei ${}m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}y$ diejenige natürliche Zahl, die im Zehnersystem durch ${}m$ aufeinanderfolgende Einsen dargestellt wird. Zeige, dass ${}y$ genau dann von ${}11$ geteilt wird, wenn ${}m$ gerade ist.
3. Es seien ${}\ell ,m\in \mathbb {N} _{+}$ und es sei ${}x$ die Zahl mit ${}\ell$ Einsen und ${}y$ die Zahl mit ${}m$ Einsen (im Zehnersystem). Zeige, dass ${}y$ genau dann von ${}x$ geteilt wird, wenn ${}m$ von ${}\ell$ geteilt wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass beim euklidischen Algorithmus zu ${}a$ und ${}b$ der größte gemeinsame Teiler von zwei aufeinanderfolgenden Resten stets gleich bleibt und schließe daraus, dass der Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen berechnet.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es sei ${}n\geq 1$ eine natürliche Zahl.

1. Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}(n!)^{2}$ und ${}(n-1)!\cdot (n+1)!$.
2. Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}(n!)^{2}$ und ${}(n-1)!\cdot (n+1)!$.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Stammbrüche ${}{\frac {1}{5}}$ und ${}{\frac {1}{3}}$.

1. Wie viele Stammbrüche liegen echt zwischen ${}{\frac {1}{5}}$ und ${}{\frac {1}{3}}$?
2. Wie viele rationale Zahlen der Form ${}{\frac {a}{11}}$ mit ${}a\in \mathbb {N}$ liegen echt zwischen ${}{\frac {1}{5}}$ und ${}{\frac {1}{3}}$?
3. Wie viele rationale Zahlen liegen echt zwischen ${}{\frac {1}{5}}$ und ${}{\frac {1}{3}}$?

Aufgabe (0 Punkte)