Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/T4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	${}\sum$
Punkte	3	3	6	2	1	5	3	3	4	1	2	2	2	3	2	2	3	2	3	6	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Multiplikation ${}a\cdot b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$.
2. Eine lineare (oder totale) Ordnung ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$.
3. Die Differenz ${}a-b$ von natürlichen Zahlen ${}a,b$ mit ${}b\leq a$.
4. Eine Primzahl.
5. Der Binomialkoeffizient ${}{\binom {n}{k}}$.
6. Die Multiplikation von ganzen Zahlen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Euklid über Primzahlen.
2. Die rekursive Beziehung zwischen den Binomialkoeffizienten (Pascalsches Dreieck).
3. Die Division mit Rest für natürliche Zahlen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Menge, die als disjunkte Vereinigung

${}G=A\uplus B\,$

gegeben ist. Definiere eine Bijektion zwischen der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(G)$ und der Produktmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(A)\times {\mathfrak {P}}\,(B)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien ${}a,b,c$ natürliche Zahlen mit ${}a,b\geq c$. Zeige

${}(a-c)+b=a+(b-c)\,.$

Gilt

${}(8-5)+3=8+(3-5)\,$

in ${}\mathbb {N}$?

Aufgabe * (1 Punkt)

Es seien ${}a,b$ Elemente in einem kommutativen Halbring ${}R$. Berechne

$(a+2b)\cdot (2a+3b).$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}n$ eine fixierte natürliche Zahl und

${}M={\{1,\ldots ,n\}}\,.$

Wir betrachten die beiden Verknüpfungen (Maximum und Minimum)

$M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {max} (a,b),$

und

$M\times M\longrightarrow M,\,(a,b)\longmapsto \operatorname {min} (a,b).$

Zeige, dass ${}M$ mit diesen beiden Verknüpfungen (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Halbring ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Gesamtmenge aller Finger und aller Zehen eines Menschen. Man gebe für jede Faktorzerlegung

${}20=a\cdot b\,$

eine möglichst natürliche Zerlegung dieser ${}20$ Körperteile in ${}a$ Teilmengen mit je ${}b$ Elemente an.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge und sei

$B={\left\{F:M\rightarrow M{\text{ Abbildung}}\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}.$

Zeige, dass

${}{\#\left(B\right)}=n!\,$

ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die Primfaktorzerlegung von

${\binom {15}{5}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme den Rest von ${}10$ bei Division durch ${}1,2,3,4,5,6,7,8,9$.

Aufgabe (2 Punkte)

Siehe Extrablatt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Betrachte im ${}13$er System mit den Ziffern ${}0,1,\ldots ,8,9,A,B,C$ die Zahl

$B4AC.$

Wie sieht diese Zahl im Zehnersystem aus?

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe einen Algorithmus, der zu einer beliebigen im Dezimalsystem gegebenen Zahl ${}n\geq 1$ ihren Vorgänger im Dezimalsystem bestimmt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Führe die Multiplikation ${}8092\cdot 714$ mit dem Jalousie-Verfahren durch.

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Bestimme, von welcher Art (im Sinne der Vorlesung) die folgenden Gleichungen sind.

1. ${}-(-x)=x\,,$

2. ${}x^{2}-3x+5=0\,.$

3. ${}13-8=5\,,$

4. ${}a_{n}a_{n-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}10^{i}\,.$

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

1. Finde eine quadratische Gleichung der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ die einzige Lösung ist.

2. Finde unendlich viele verschiedene quadratische Gleichungen der Form

   ${}x^{2}+px+q=0\,$

   mit ${}p,q\in \mathbb {Z}$, für die ${}17$ eine Lösung ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Sie stehen an einem Klippenrand. Jemand sagt: „Innerhalb der ganzen Zahlen ist der Vorgänger des Nachfolgers und der Nachfolger des Vorgängers das Element selbst. Es ist also beispielsweise egal, ob ich zuerst einen Schritt nach vorne und dann nach hinten mache oder umgekehrt. Machen Sie also ruhig einen Schritt nach vorne.“ Klären Sie diese paradoxe Situation.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Lucy Sonnenschein unternimmt eine Zeitreise. Sie reist zuerst ${}16$ Stunden nach vorne, dann (immer vom jeweiligen erreichten Zeitpunkt aus) ${}5$ Stunden nach vorne, dann ${}26$ Stunden zurück, dann ${}4$ Stunden zurück, dann ${}8$ Stunden nach vorne und dann ${}12$ Stunden zurück.

1. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn die Reise selbst keine Zeit verbraucht?
2. Wo befindet sie sich am Ende dieser Zeitreise, wenn eine Zeitreise um eine Stunde, egal ob in die Zukunft oder in die Vergangenheit, immer eine Minute verbraucht?

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise das Lemma von Bezout für teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$ durch Induktion über das Maximum von ${}a$ und ${}b$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1085$ und ${}806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

Aufgabe (3 Punkte)

Diskutiere Unterschiede und Gemeinsamkeiten zwischen der Abziehregel und der Kürzungsregel auf ${}\mathbb {N}$.