Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	7	2	3	4	5	3	5	6	3	3	2	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper ${}K$.
2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   (bezüglich der Standardbasen).

3. Eine Relation auf einer Menge ${}M$.
4. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
5. Die Zahl ${}\pi$.
6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
2. Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
3. Der Satz über die Verteilung bei einem ${}n$-fachen Münzwurf.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke

${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}x_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{k}},\,{\text{ falls }}n=2^{k}{\text{ mit }}k\in \mathbb {N} _{+}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert.

1. Bestimme ${}x_{1}$ und ${}x_{8}$.
2. Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,$

nicht gelten muss.

Aufgabe * (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Ein Schüler fragt: „Ist ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}$ auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?“

1. Was ist Ihre Antwort?
2. Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
3. Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}f(a)\geq g(a)$ und ${}f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y={\frac {1}{7}}\,$

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe ${}25$ ergibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei ${}B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?