Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 4 }
\renewcommand{\avier}{ 4 }
\renewcommand{\afuenf}{ 7 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Eine
\stichwort {lineare Gleichung} {}
zu einer Variablenmenge
\mathl{X_1 , \ldots , X_n}{} über einem Körper $K$.
}{Die \stichwort {beschreibende Matrix} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K^n} {K^m } {} \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasen} {} {.}
}{Eine \stichwort {Relation} {} auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Folge} {} in einer Menge $M$.
}{Die Zahl $\pi$.
}{Eine \stichwort {diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte} {} auf einer endlichen Menge $M$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Zu
\mathl{a_1 , \ldots , a_n \in K}{} nennt man
\mathdisp {a_1x_1 +a_2x_2 + \cdots + a_nx_n =0} { }
eine
\zusatzklammer {homogene} {} {}
lineare Gleichung in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{} über $K$.
}{Die
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { (a_{ij})_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te
\definitionsverweis {Koordinate}{}{}
von
\mathl{\varphi(e_j )}{} bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu $\varphi$.
}{Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge
\mathl{M \times M}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \subseteq }{ M \times M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Eine Folge in $M$ ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\N} {M
} {n} {x_n
} {.}
}{Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des
\definitionsverweis {Einheitskreises}{}{.}
}{Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$ ist eine Abbildung
\maabbeledisp {f} {M} { \R_{\geq 0}
} {x} { f(x)
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{x \in M} f(x)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.}{Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.}{Der Satz über die Verteilung bei einem $n$-fachen Münzwurf.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & c_1 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & c_2 \\
\vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & c_m \end{matrix}} { }
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über $K$. Dann ist die Menge $S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\zusatzklammer {affiner} {} {}
Unterraum des $K^n$. Dabei kann man jede Lösung
\mathl{P \in S}{} als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.}{Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung
\zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {}
besitzt.}{Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem $n$-fachen Münzwurf genau $k$-fach Kopf fällt, beträgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_{ { \frac{ 1 }{ 2 } },n } (k)
}
{ =} { { \frac{ \binom { n } { k } }{ 2^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ i
}
{ =} { 1 , \ldots , m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist das Nulltupel
\mathl{(0 , \ldots , 0)}{} eine Lösung. Es seien
\mathl{\left( x_1 , \, \ldots , \, x_n \right)}{} und
\mathl{\left( y_1 , \, \ldots , \, y_n \right)}{} Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dann für jedes $i$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( s x_j \right) }
}
{ =} { s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) }
}
{ =} { s \cdot 0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Entsprechend ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_{j = 1}^n a_{ij} { \left( x_j +y_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( a_{ij} x_j +a_{ij} y_j \right) }
}
{ =} { { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) } + { \left( \sum_{j = 1}^n a_{ij} x_j \right) }
}
{ =} { 0 +0
}
{ =} { 0
}
}
{}
{}{}
für alle $i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.
Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Finde
\definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{}
\mathl{E_1 , \ldots , E_k}{} derart, dass
\mathl{E_k \circ \cdots \circ E_1 \circ M}{} die Einheitsmatrix ist.
}
{
Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 12 }{ 11 } } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 4 }{ 11 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 11 }{ 4 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - { \frac{ 4 }{ 11 } } \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 12 }{ 11 } } \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - { \frac{ 5 }{ 4 } } & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe
\mathl{\Z/(n)}{.}
}
{
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Restklassenring gleich $\Z$ selbst und kein Körper. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 0 }\,
}
{ = }{ \overline{ 1 }\,
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und $1$ ist keine Primzahl. Es sei also von nun an
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn $n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {rs
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit kleineren Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ <} {r,s
}
{ <} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Im Restklassenring
\mathl{\Z/(n)}{} bedeutet dies, dass die Restklassen
\mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ s }\,} {}
nicht $0$ sind, dass aber ihr Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overline{ r }\, \overline{ s }\,
}
{ =} { \overline{ rs }\,
}
{ =} { \overline{ n }\,
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Das kann nach
Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
in einem Körper nicht sein.
Sei nun $n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von $0$ verschiedene Restklasse
\mathbed {\overline{ r }\,} {}
{0 < r < n} {}
{} {} {} {,}
ein inverses Element besitzt. Da $n$ prim ist, sind
\mathkor {} {r} {und} {n} {}
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
Nach
dem Lemma von Bezout
gibt es ganze Zahlen
\mathl{a,b}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ar+bn
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies führt im Restklassenring zur Identität
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \overline{ 1 }\,
}
{ =} { \overline{ ar +bn }\,
}
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\, + \overline{ b }\, \overline{ n }\,
}
{ =} { \overline{ a }\, \overline{ r }\,
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
die besagt, dass
\mathkor {} {\overline{ r }\,} {und} {\overline{ a }\,} {}
invers zueinander sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7}
}
{ =} { 4^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } \cdot 7^{ { \frac{ 1 }{ 5 } } }
}
{ =} { { \left( 4^5 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 15 } } } \cdot { \left( 7^3 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 15 } } }
}
{ =} { 1024^{ \frac{ 1 }{ 15 } } \cdot 343^{ \frac{ 1 }{ 15 } }
}
{ =} { 351232^{ \frac{ 1 }{ 15 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sqrt[15]{351232 }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+2)}
{
Die Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} sei durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { \begin{cases} { \frac{ 1 }{ k } } ,\, \text{ falls } n = 2^k \text{ mit } k \in \N_+ \, , \\ 0 \, \text{ sonst} \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme
\mathl{x_1}{} und
\mathl{x_{8}}{.}
} {Konvergiert die Folge in $\Q$?
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da zwar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{2^0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,} aber
\mathl{0 \notin \N_+}{} ist,
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_8
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Die Folge konvergiert gegen $0$. Zu gegebenem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mathl{k \in \N_+}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n_0
}
{ =} {2^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt dann für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ k } }
}
{ \leq} { \epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und es seien
\mathkor {} {{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }} {und} {{ \left( y_n \right) }_{n \in \N }} {}
zwei
\definitionsverweis {konvergente Folgen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \geq }{ y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ \geq }{ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Es seien
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ <} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angenommen. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta
}
{ \defeq} { y-x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } \cdot \delta
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann sind die $\epsilon$-Umgebungen
\mathkor {} {[x-\epsilon, x+ \epsilon]} {und} {[ y -\epsilon, y + \epsilon]} {}
disjunkt. Zu diesem $\epsilon$ gibt es ein
\zusatzklammer {gemeinsames} {} {}
$n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Folgenglieder $x_n \in [x-\epsilon, x+ \epsilon]$ und die Folgenglieder $y_n \in [y -\epsilon, y+ \epsilon]$ liegen. Somit ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \leq} { x + \epsilon
}
{ <} { y- \epsilon
}
{ \leq} { y_n
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ein Widerspruch zur Voraussetzung.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die Glieder $x_1,x_2$ der
\definitionsverweis {Heron-Folge}{}{}
zur Berechnung von $\sqrt{3}$ mit dem Startglied
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_0
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Finde ganze Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a+b \sqrt{3} }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ 1+3 }{ 2 } }
}
{ =} { 2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ 2 + { \frac{ 3 }{ 2 } } }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Von der Approximation
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{3}
}
{ \sim} { { \frac{ 7 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
her betrachten wir
\mathl{7 - 4 \sqrt{3}}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{49
}
{ =} {7^2
}
{ >} { (4 \sqrt{3})^2
}
{ =} { 48
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Zahl positiv. Wir behaupten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 -4 \sqrt{3}
}
{ \leq} { 0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6,9
}
{ \leq} { 4 \sqrt{3}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (6,9)^2
}
{ =} { 47,61
}
{ \leq} {48
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies richtig.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {reelle Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { { \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ n
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{
Wir erweitern mit
\mathl{n^{- { \frac{ 5 }{ 3 } } }}{} und erhalten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x_n
}
{ =} {{ \frac{ 5n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } +4 n^{ \frac{ 4 }{ 3 } } +n }{ 7n^{ \frac{ 5 }{ 3 } } +6 n^{ \frac{ 3 }{ 2 } } } }
}
{ =} {{ \frac{ 5n^{ { \frac{ 3 }{ 2 } } - { \frac{ 5 }{ 3 } } }+4 n^{ { \frac{ 4 }{ 3 } } - { \frac{ 5 }{ 3 } } } +n^{1 - { \frac{ 5 }{ 3 } } } }{ 7n^{ { \frac{ 5 }{ 3 } } - { \frac{ 5 }{ 3 } } } +6 n^{ { \frac{ 3 }{ 2 } }- { \frac{ 5 }{ 3 } } } } }
}
{ =} { { \frac{ 5n^{ - { \frac{ 1 }{ 6 } } }+4 n^{- { \frac{ 1 }{ 3 } } } +n^{ - { \frac{ 2 }{ 3 } } } }{ 7+6 n^{ - { \frac{ 1 }{ 6 } } } } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Folgen der Form
\mathl{n^{- q }}{,}
\mathl{q \in \Q_+}{,} konvergieren
\zusatzklammer {vergleiche
Aufgabe *****} {} {}
gegen
\mathl{0}{,} nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen
\mathl{0}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{
a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für
\mathl{x \in \R}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( { \left( h \cdot g \right) } \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( h \cdot g \right) } { \left( f (x) \right) }
}
{ =} { h(f(x)) \cdot g(f(x))
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } (x) \cdot { \left( g \circ f \right) } (x)
}
{ =} { { \left( { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) } \right) } (x)
}
}
{}
{}{,}
was die Aussage beweist.
b) Wir nehmen für
\mathl{f,g,h}{} jeweils die Identität, also die Abbildung
\mathl{x \mapsto x}{.} Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren
\mathl{x \mapsto x^2}{.} Daher ist in diesem Beispiel die Funktion
\mathdisp {{ \left( h \circ g \right) } \cdot f} { }
gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion
\mathdisp {{ \left( h\cdot f \right) } \circ { \left( g\cdot f \right) }} { }
hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung
\mathl{x \mapsto { \left( x^2 \right) }^2 =x^4}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+4+1)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {X^3-X^2-5X+6
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Finde eine ganzzahlige Nullstelle von $P$.
}{Finde sämtliche reellen Nullstellen von $P$.
}{Bestimme eine Zerlegung von $P$ in Linearfaktoren.
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(2)
}
{ =} { 8-4-10+6
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
somit ist $2$ eine Nullstelle von $P$.
}{Mit einer Division mit Rest ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^3-X^2-5X+6
}
{ =} { (X-2)(X^2+X-3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es geht also noch um die Nullstellen von $X^2+X-3$. Diese sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{1,2}
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{ 1+12 }- 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{ 13 }- 1 }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { (X-2) { \left( X - { \frac{ \sqrt{ 13 }- 1 }{ 2 } } \right) } { \left( X + { \frac{ \sqrt{ 13 } + 1 }{ 2 } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3 (1+1+1)}
{
Ein Schüler fragt: \anfuehrung{Ist
\mathl{\sqrt{2} + \sqrt{5}}{} auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?}{}
\aufzaehlungdrei{Was ist Ihre Antwort?
}{Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
}{Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?
}
}
{Schülerfrage/Summe von Quadratwurzeln/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \geq }{g(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b)
}
{ \leq }{g(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ \in }{ [a,b]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ = }{g(c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(x)
}
{ \defeq} {f(x) -g(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Funktion ist nach
Satz 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
wieder stetig und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(a)
}
{ =} {f(a) -g(a)
}
{ \geq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(b)
}
{ =} {f(b) - g(b)
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es ein
\mathl{c \in [a,b]}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h(c)
}
{ =} {0
}
{ =} {f(c) -g(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(c)
}
{ =} {g(c)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen Geraden.
}
{
Der Einheitskreis ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+y^2
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Darin setzen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2+ { \frac{ 1 }{ 49 } }
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ =} { { \frac{ 48 }{ 49 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{x_{1,2}
}
{ =} { \pm { \frac{ \sqrt{ 48 } }{ 7 } }
}
{ =} { \pm { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}
{}{.}
Die Schnittpunkte sind also
\mathkor {} {\left( { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } , \, { \frac{ 1 }{ 7 } } \right)} {und} {\left( - { \frac{ 4 \cdot \sqrt{ 3 } }{ 7 } } , \, { \frac{ 1 }{ 7 } } \right)} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe $25$ ergibt.
}
{
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2+3+4+5+6+7
}
{ =} { 27
}
{ >} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
muss auf jeden Fall die $1$ und die $2$ gezogen werden. Wenn die $3$ nicht gezogen wird, so ist die einzige Möglichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+4+5+6+7
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die $4$ nicht gezogen wird, so muss die $5$ gezogen werden, und es ergibt sich die einzige Möglichkeit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+5+6+8
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathl{1,2,3,4}{} gezogen werden, so verbleiben die Möglichkeiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+4+6+9
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+4+7+8
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1+2+3+4+5+10
}
{ =} {25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es gibt also fünf Ziehmöglichkeiten, die die Summenbedingung erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist demnach gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 5 }{ \binom { 49 } { 6 } } }
}
{ \cong} { { \frac{ 5 }{ 14 000 000 } }
}
{ \cong} { { \frac{ 1 }{ 2 800 000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei $B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?
}
{
Das Ereignis $A$ hat die Wahrscheinlichkeit
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 1024 } }}{.} Für das Ereignis $B$ haben wir die
\zusatzklammer {groben} {} {}
Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{P(B)
}
{ =} { \sum_{k = 0}^{10} { \frac{ \binom { 100 } { k } }{ 2^{100} } }
}
{ \leq} { 11 \cdot { \frac{ \binom { 100 } { 10 } }{ 2^{100} } }
}
{ =} {11 \cdot { \frac{ \,\, { \frac{ 100 \cdot 99 \cdots 91 }{ 10 \cdot 9 \cdots 1 } } \, \, }{ 2^{100} } }
}
{ \leq} { { \frac{ 11 \cdot 100^{10} }{ 2^{100} } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ 100^{11} }{ 2^{100} } }
}
{ \leq} { { \frac{ 10^{22} }{ { \left( 2^{10} \right) }^{10} } }
}
{ \leq} { { \frac{ 10^{22} }{ { \left( 10^{3} \right) }^{10} } }
}
{ =} { { \frac{ 10^{22} }{ 10^{30} } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 10^{8} } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}
Das Ereignis $A$ ist also wahrscheinlicher.
}