Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/2/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	4	7	2	3	4	5	3	5	6	3	3	2	3	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine lineare Gleichung zu einer Variablenmenge ${}X_{1},\ldots ,X_{n}$ über einem Körper ${}K$.
2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   (bezüglich der Standardbasen).

3. Eine Relation auf einer Menge ${}M$.
4. Eine Folge in einer Menge ${}M$.
5. Die Zahl ${}\pi$.
6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf einer endlichen Menge ${}M$.

Lösung

1. Zu ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ nennt man

   $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0$

   eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ über ${}K$.

2. Die ${}m\times n$- Matrix

   ${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

   wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, heißt die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$.

3. Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.
4. Eine Folge in ${}M$ ist eine Abbildung

   $\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n}.$

5. Unter der Zahl ${}\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
6. Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte auf ${}M$ ist eine Abbildung

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$

   mit

   ${}\sum _{x\in M}f(x)=1\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Lösungsmenge zu einem inhomogenen linearen Gleichungssystem.
2. Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
3. Der Satz über die Verteilung bei einem ${}n$-fachen Münzwurf.

Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und

   ${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

   ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Dann ist die Menge ${}S$ aller Lösungen des Gleichungssystems ein (affiner)

   Unterraum des ${}K^{n}$. Dabei kann man jede Lösung ${}P\in S$ als Aufpunkt nehmen, und der zugehörige Untervektorraum ist der Lösungsraum zum zugehörigen homogenen linearen Gleichungssystem.
2. Eine reelle Zahl ist genau dann eine rationale Zahl, wenn sie eine periodische Ziffernentwicklung (im Dezimalsystem) besitzt.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einem ${}n$-fachen Münzwurf genau ${}k$-fach Kopf fällt, beträgt

   ${}B_{{\frac {1}{2}},n}(k)={\frac {\binom {n}{k}}{2^{n}}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?

Lösung

Wegen

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}0=0\,$

für alle

${}i=1,\ldots ,m\,$

ist das Nulltupel ${}(0,\ldots ,0)$ eine Lösung. Es seien ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und${}\left(y_{1},\,\ldots ,\,y_{n}\right)$ Lösungen des linearen Gleichungssystems. Zu ${}s\in K$ ist dann für jedes ${}i$

${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(sx_{j}\right)}=s\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}=s\cdot 0=0\,.$

Entsprechend ist

${}{\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\left(x_{j}+y_{j}\right)}&=\sum _{j=1}^{n}{\left(a_{ij}x_{j}+a_{ij}y_{j}\right)}\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}+{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\\&=0+0\\&=0\end{aligned}}$

für alle ${}i$. Somit ist der Lösungsraum unter Multiplikation mit einem Skalar und unter Addition abgeschlossen und bildet demnach einen Untervektorraum.

Der Gesamtlösungsraum ist der Durchschnitt der Lösungsräume zu den einzelnen Gleichungen.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}\,.$

Finde Elementarmatrizen ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ derart, dass ${}E_{k}\circ \cdots \circ E_{1}\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Lösung

Wir multiplizieren die gegebene Matrix nacheinander mit Elementarmatrizen, bis sich die Einheitsmatrix ergibt. Es ist

${}{\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&3\\0&-{\frac {11}{4}}\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&{\frac {12}{11}}\\0&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&3\\0&-{\frac {11}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0\\0&-{\frac {11}{4}}\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&0\\0&-{\frac {11}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-{\frac {11}{4}}\end{pmatrix}}\,,$

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-{\frac {4}{11}}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\0&-{\frac {11}{4}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Somit ist insgesamt

${}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-{\frac {4}{11}}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&{\frac {12}{11}}\\0&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {5}{4}}&1\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&3\\5&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$.

Lösung

Bei ${}n=0$ ist der Restklassenring gleich ${}\mathbb {Z}$ selbst und kein Körper. Bei ${}n=1$ besteht der Restklassenring aus nur einem Element und es ist ${}{\overline {0}}\,={\overline {1}}\,$. Dies ist bei einem Körper explizit ausgeschlossen, und ${}1$ ist keine Primzahl. Sei also von nun an ${}n\geq 2$. Wenn ${}n$ keine Primzahl ist, so gibt es eine Darstellung

${}n=rs\,$

mit kleineren Zahlen

${}1<r,s<n\,.$

Im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(n)$ bedeutet dies, dass die Restklassen ${}{\overline {r}}\,$ und ${}{\overline {s}}\,$ nicht ${}0$ sind, dass aber ihr Produkt

${}{\overline {r}}\,{\overline {s}}\,={\overline {rs}}\,={\overline {n}}\,=0\,$

ist. Das kann nach Lemma 23.12 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) in einem Körper nicht sein.

Sei nun ${}n$ eine Primzahl. Wir müssen zeigen, dass jede von ${}0$ verschiedene Restklasse ${}{\overline {r}}\,$, ${}0<r<n$, ein inverses Element besitzt. Da ${}n$ prim ist, sind ${}r$ und ${}n$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bezout gibt es ganze Zahlen ${}a,b$ mit

${}ar+bn=1\,.$

Dies führt im Restklassenring zur Identität

${}{\begin{aligned}{\overline {1}}\,&={\overline {ar+bn}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,+{\overline {b}}\,{\overline {n}}\,\\&={\overline {a}}\,{\overline {r}}\,,\end{aligned}}$

die besagt, dass ${}{\overline {r}}\,$ und ${}{\overline {a}}\,$ invers zueinander sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

${\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}$

mit einer einzigen Wurzel aus.

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{4}}\cdot {\sqrt[{5}]{7}}&=4^{\frac {1}{3}}\cdot 7^{\frac {1}{5}}\\&={\left(4^{5}\right)}^{\frac {1}{15}}\cdot {\left(7^{3}\right)}^{\frac {1}{15}}\\&=1024^{\frac {1}{15}}\cdot 343^{\frac {1}{15}}\\&=351232^{\frac {1}{15}}\\&={\sqrt[{15}]{351232}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ sei durch

${}x_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{k}},\,{\text{ falls }}n=2^{k}{\text{ mit }}k\in \mathbb {N} _{+}\,,\\0\,{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

definiert.

1. Bestimme ${}x_{1}$ und ${}x_{8}$.
2. Konvergiert die Folge in ${}\mathbb {Q}$?

Lösung

1. Es ist ${}x_{1}=0$, da zwar ${}1=2^{0}$, aber ${}0\notin \mathbb {N} _{+}$ ist, und ${}x_{8}={\frac {1}{3}}$.
2. Die Folge konvergiert gegen ${}0$. Zu gegebenem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit

   ${}{\frac {1}{k}}\leq \epsilon \,.$

   Mit

   ${}n_{0}=2^{k}\,$

   gilt dann für alle ${}n\geq n_{0}$ die Abschätzung

   ${}x_{n}\leq {\frac {1}{k}}\leq \epsilon \,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es seien ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ und ${}{\left(y_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ zwei konvergente Folgen mit ${}x_{n}\geq y_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass dann ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}\geq \lim _{n\rightarrow \infty }y_{n}$ gilt.

Lösung

Es seien ${}x$ und ${}y$ die Grenzwerte der beiden Folgen. Sei

${}x<y\,$

angenommen. Wir setzen

${}\delta :=y-x\,$

und

${}\epsilon ={\frac {1}{3}}\cdot \delta >0\,.$

Dann sind die ${}\epsilon$-Umgebungen ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und ${}[y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ disjunkt. Zu diesem ${}\epsilon$ gibt es ein (gemeinsames) ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Folgenglieder ${}x_{n}\in [x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ und die Folgenglieder ${}y_{n}\in [y-\epsilon ,y+\epsilon ]$ liegen. Somit ergibt sich

${}x_{n}\leq x+\epsilon <y-\epsilon \leq y_{n}\,,$

ein Widerspruch zur Voraussetzung.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

1. Bestimme die Glieder ${}x_{1},x_{2}$ der Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {3}}$ mit dem Startglied

   ${}x_{0}=1\,.$

2. Finde ganze Zahlen

   ${}a,b\neq 0\,$

   mit

   ${}\vert {a+b{\sqrt {3}}}\vert \leq {\frac {1}{10}}\,.$

Lösung

1. Es ist

   ${}x_{1}={\frac {1+3}{2}}=2\,$

   und

   ${}x_{2}={\frac {2+{\frac {3}{2}}}{2}}={\frac {7}{4}}\,.$

2. Von der Approximation

   ${}{\sqrt {3}}\sim {\frac {7}{4}}\,$

   her betrachten wir ${}7-4{\sqrt {3}}$. Wegen

   ${}49=7^{2}>(4{\sqrt {3}})^{2}=48\,$

   ist diese Zahl positiv. Wir behaupten

   ${}7-4{\sqrt {3}}\leq 0,1\,.$

   Dies ist äquivalent zu

   ${}6,9\leq 4{\sqrt {3}}\,.$

   Wegen

   ${}(6,9)^{2}=47,61\leq 48\,$

   ist dies richtig.

Aufgabe (3 Punkte)

Entscheide, ob die reelle Folge

${}x_{n}={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\,$

(mit ${}n\geq 1$) in ${}\mathbb {R}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Lösung

Wir erweitern mit ${}n^{-{\frac {5}{3}}}$ und erhalten

${}{\begin{aligned}x_{n}&={\frac {5n^{\frac {3}{2}}+4n^{\frac {4}{3}}+n}{7n^{\frac {5}{3}}+6n^{\frac {3}{2}}}}\\&={\frac {5n^{{\frac {3}{2}}-{\frac {5}{3}}}+4n^{{\frac {4}{3}}-{\frac {5}{3}}}+n^{1-{\frac {5}{3}}}}{7n^{{\frac {5}{3}}-{\frac {5}{3}}}+6n^{{\frac {3}{2}}-{\frac {5}{3}}}}}\\&={\frac {5n^{-{\frac {1}{6}}}+4n^{-{\frac {1}{3}}}+n^{-{\frac {2}{3}}}}{7+6n^{-{\frac {1}{6}}}}}.\end{aligned}}$

Folgen der Form ${}n^{-q}$, ${}q\in \mathbb {Q} _{+}$, konvergieren (vergleiche Aufgabe *****) gegen ${}0$, nach den Rechengesetzen für konvergente Folgen konvergiert diese Folge also gegen ${}0$.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien

$f,g,h\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

${}{\left(h\cdot g\right)}\circ f={\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\,.$

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

${}{\left(h\circ g\right)}\cdot f={\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}\,$

nicht gelten muss.

Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ${}x\in \mathbb {R}$ ist

${}{\begin{aligned}{\left({\left(h\cdot g\right)}\circ f\right)}(x)&={\left(h\cdot g\right)}{\left(f(x)\right)}\\&=h(f(x))\cdot g(f(x))\\&={\left(h\circ f\right)}(x)\cdot {\left(g\circ f\right)}(x)\\&={\left({\left(h\circ f\right)}\cdot {\left(g\circ f\right)}\right)}(x),\end{aligned}}$

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für ${}f,g,h$ jeweils die Identität, also die Abbildung ${}x\mapsto x$. Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren ${}x\mapsto x^{2}$. Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

${\left(h\circ g\right)}\cdot f$

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

${\left(h\cdot f\right)}\circ {\left(g\cdot f\right)}$

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung ${}x\mapsto {\left(x^{2}\right)}^{2}=x^{4}$.

Aufgabe (6 (1+4+1) Punkte)

Es sei

${}P=X^{3}-X^{2}-5X+6\,.$

1. Finde eine ganzzahlige Nullstelle von ${}P$.
2. Finde sämtliche reellen Nullstellen von ${}P$.
3. Bestimme eine Zerlegung von ${}P$ in Linearfaktoren.

Lösung

1. Es ist

   ${}P(2)=8-4-10+6=0\,,$

   somit ist ${}2$ eine Nullstelle von ${}P$.

2. Mit einer Division mit Rest ergibt sich

   ${}X^{3}-X^{2}-5X+6=(X-2)(X^{2}+X-3)\,.$

   Es geht also noch um die Nullstellen von ${}X^{2}+X-3$. Diese sind

   ${}x_{1,2}={\frac {\pm {\sqrt {1+12}}-1}{2}}={\frac {\pm {\sqrt {13}}-1}{2}}\,.$

3. Es ist

   ${}P=(X-2){\left(X-{\frac {{\sqrt {13}}-1}{2}}\right)}{\left(X+{\frac {{\sqrt {13}}+1}{2}}\right)}\,.$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Ein Schüler fragt: „Ist ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}$ auch die Quadratwurzel aus irgendeiner Zahl?“

1. Was ist Ihre Antwort?
2. Könnte die Frage anders gemeint gewesen sein?
3. Was wäre in diesem Fall Ihre Antwort?

Lösung Schülerfrage/Summe von Quadratwurzeln/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen mit ${}f(a)\geq g(a)$ und ${}f(b)\leq g(b)$. Zeige, dass es einen Punkt ${}c\in [a,b]$ mit ${}f(c)=g(c)$ gibt.

Lösung

Wir betrachten

${}h(x):=f(x)-g(x)\,.$

Diese Funktion ist nach Lemma 51.8 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) wieder stetig und es ist

${}h(a)=f(a)-g(a)\geq 0\,$

und

${}h(b)=f(b)-g(b)\leq 0\,.$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein ${}c\in [a,b]$ mit

${}h(c)=0=f(c)-g(c)\,,$

also ist

${}f(c)=g(c)\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

${}y={\frac {1}{7}}\,$

gegebenen Geraden.

Lösung

Der Einheitskreis ist durch

${}x^{2}+y^{2}=1\,$

gegeben. Darin setzen wir

${}y={\frac {1}{7}}\,$

ein und erhalten

${}x^{2}+{\frac {1}{49}}=1\,.$

Also ist

${}x^{2}={\frac {48}{49}}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{1,2}&=\pm {\frac {\sqrt {48}}{7}}\\&=\pm {\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}}.\end{aligned}}$

Die Schnittpunkte sind also ${}\left({\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$ und ${}\left(-{\frac {4\cdot {\sqrt {3}}}{7}},\,{\frac {1}{7}}\right)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beim Zahlenlotto Zahlen gezogen werden, deren Summe ${}25$ ergibt.

Lösung

Wegen

${}2+3+4+5+6+7=27>25\,$

muss auf jeden Fall die ${}1$ und die ${}2$ gezogen werden. Wenn die ${}3$ nicht gezogen wird, so ist die einzige Möglichkeit

${}1+2+4+5+6+7=25\,.$

Wenn die ${}4$ nicht gezogen wird, so muss die ${}5$ gezogen werden, und es ergibt sich die einzige Möglichkeit

${}1+2+3+5+6+8=25\,.$

Wenn ${}1,2,3,4$ gezogen werden, so verbleiben die Möglichkeiten

${}1+2+3+4+6+9=25\,,$

${}1+2+3+4+7+8=25\,,$

${}1+2+3+4+5+10=25\,.$

Es gibt also fünf Ziehmöglichkeiten, die die Summenbedingung erfüllen. Die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ereignis ist demnach gleich

${}{\frac {5}{\binom {49}{6}}}\cong {\frac {5}{14000000}}\cong {\frac {1}{2800000}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}A$ das Ereignis, dass bei einem zehnfachen Münzwurf keinmal Kopf fällt, und es sei ${}B$ das Ereignis, dass bei einem hundertfachen Münzwurf höchstens zehnmal Kopf fällt. Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?

Lösung

Das Ereignis ${}A$ hat die Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{1024}}$. Für das Ereignis ${}B$ haben wir die (groben) Abschätzungen

${}{\begin{aligned}P(B)&=\sum _{k=0}^{10}{\frac {\binom {100}{k}}{2^{100}}}\\&\leq 11\cdot {\frac {\binom {100}{10}}{2^{100}}}\\&=11\cdot {\frac {\,\,{\frac {100\cdot 99\cdots 91}{10\cdot 9\cdots 1}}\,\,}{2^{100}}}\\&\leq {\frac {11\cdot 100^{10}}{2^{100}}}\\&\leq {\frac {100^{11}}{2^{100}}}\\&\leq {\frac {10^{22}}{{\left(2^{10}\right)}^{10}}}\\&\leq {\frac {10^{22}}{{\left(10^{3}\right)}^{10}}}\\&={\frac {10^{22}}{10^{30}}}\\&={\frac {1}{10^{8}}}.\end{aligned}}$

Das Ereignis ${}A$ ist also wahrscheinlicher.