Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/21/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	1	2	2	4	4	3	10	4	2	3	6	3	2	3	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Matrizenmultiplikation.
2. Die Antisymmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
3. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf einer Menge ${}M$.
4. Eine Intervallschachtelung in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Eine Drehung in ${}\mathbb {R} ^{2}$.
6. Die Binomialverteilung zu ${}p\in [0,1]$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

2. Der Satz über rationale Zahlen und periodische Ziffernentwicklung.
3. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit einer Abbildung

   $f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt

   ${}x\in D$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme (ohne Begründung), welche der folgenden skizzierten geometrischen Objekte im ${}\mathbb {R} ^{2}$ als Lösungsmenge eines linearen (inhomogenen) Gleichungssystems auftreten können (man denke sich die Objekte ins Unendliche fortgesetzt).

1. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

3. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

4. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

5. 

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${}M={\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (2 (1+0.5+0.5) Punkte)

Wir betrachten das Spiel Schnick Schnack Schnuck mit den Objekten Schere, Stein, Papier und Brunnen als eine Gewinnrelation.

1. Skizziere diese Gewinnrelation durch einen gerichteten Graphen (Pfeildiagramm).
2. Ist die Gewinnrelation transitiv?
3. Gibt es eine dreielementige Teilmenge der Objekte derart, dass die darauf eingeschränkte Relation transitiv ist?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}x_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit Startwert ${}x_{0}=2$ und ${}y_{n}$ die Heron-Folge zur Berechnung von ${}{\sqrt {5}}$ mit Startwert ${}y_{0}=3$.

1. Berechne ${}y_{1}-x_{1}$.
2. Zeige, dass die Differenzfolge

   ${}z_{n}:=y_{n}-x_{n}\,$

   eine Nullfolge ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die rationale Zahl, die im Dezimalsystem durch

$0{,}{\overline {142857}}$

gegeben ist.

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für reelle Zahlen.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Gruppenhomomorphismus?

1. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

2. $(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

3. $(\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} _{\geq 0},1,\cdot ),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

4. $(\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ,0,+),\,x\longmapsto {\sqrt {x}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms

$1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Aufgabe * (6 (3+1+2) Punkte)

1. Bestimme diejenigen reellen Polynomfunktionen, die bijektiv sind und für die die Umkehrfunktion ebenfalls polynomial ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine bijektive reelle Polynomfunktion, für die die Umkehrfunktion kein Polynom ist.
3. Zeige, dass durch das Polynom ${}X^{5}$ eine bijektive Abbildung

   $\mathbb {Z} /(7)\longrightarrow \mathbb {Z} /(7),\,x\longmapsto x^{5},$

   gegeben ist. Ist die Umkehrabbildung polynomial?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}q\in \mathbb {Q}$ fixiert. Zeige, dass die Potenzfunktion

$f\colon \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{q},$

stetig ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Was ist eigentlich ein „Winkel“?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten den Einheitskreis über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(5)$, also die Teilmenge

${}E\subseteq {\left\{(x,y)\in {\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,.$

Aus ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{2}=\mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(5)$ werden zufällig Punkte ausgewählt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein gewählter Punkt auf dem Einheitskreis liegt?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ${}E_{1},\ldots ,E_{r}$ eine Familie von vollständig unabhängigen Ereignissen. Zeige, dass die Familie vollständig unabhängig bleibt, wenn man die leere Menge und die Gesamtmenge ${}M$ hinzunimmt.