Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/22/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	4	1	4	3	2	3	4	5	4	4	2	10	1	4	3	0	60

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein affiner Unterraum ${}S\subseteq K^{n}$.
2. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   (bezüglich der Standardbasen).

3. Die Symmetrie einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$.
4. Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Der Sinus zu einem Winkel ${}\alpha$.
6. Paarweise unabhängige Ereignisse ${}E_{1},\ldots ,E_{k}$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,\mu )$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Punktrichtungsform für eine lineare Gleichung in zwei Variablen.
2. Der Isomorphiesatz für reelle Zahlen.
3. Der Satz von Vieta.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&+z&\,\,\,\,-w&=&3\\-2x&+5y&-3z&+w&=&0\\x&\,\,\,\,-y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\5x&+2y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${}\mathbb {R} ^{2}$ kein Untervektorraum ist

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}.$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

1. Das ${}2\times 2$-Brett.
2. Das ${}3\times 3$-Brett.
3. Das ${}4\times 4$-Brett.

Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle eine Wertetabelle für die Abbildung

$\mathbb {Z} /(10)\longrightarrow \mathbb {Z} /(10),\,x\longmapsto x^{3}.$

Ist die Abbildung bijektiv?

Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper ${}K$ beschränkt ist.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Es sei

${}D={\left\{{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\mid {\text{ Cauchy-Folge in }}\mathbb {R} \right\}}\,$

und ${}N$ das Ideal der Nullfolgen in ${}D$.

1. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\psi \colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt.

2. Zeige, dass es einen surjektiven Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon D/N\longrightarrow \mathbb {R}$

   gibt.

3. Zeige, dass die Gesamtabbildung

   $\mathbb {R} \longrightarrow D{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}\mathbb {R}$

   bijektiv ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das Dezimalsystem, das (beispielsweise in der Schule) schrittweise aufgebaut wird. Zuerst sind endliche Ziffernfolgen der Form

$6108$

erlaubt, die eine natürliche Zahl repräsentieren. Dann erweitert man zu Ziffernfolgen der Form

$6108,3956$

(die gewisse rationale Zahlen repräsentieren). Warum sind im weiteren Aufbau des Dezimalsystems Ziffernfolgen der Bauart

$6108,3956236582952309045...$

mit „unendlich vielen“ Ziffern hinter dem Komma erlaubt, aber keine Ziffernfolgen der Bauart

$...23775800449523096108,3956$

mit „unendlich vielen“ Ziffern vor dem Komma? Kann man die zuletzt genannten Ziffernfolgen sinnvoll interpretieren? Kann man sie sinnvoll als „Zahlen“ interpretieren?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Aufgabe * (2 Punkte)

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Aufgabe * (10 (1+1+1+3+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 1}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 1},$

die durch

${}f(x):={\begin{cases}{\frac {2}{x}}\,,{\text{ falls }}x\leq 2\,,\\{\frac {x}{2}}\,,{\text{ falls }}x>2\,,\end{cases}}\,$

definiert ist.

1. Skizziere den Graphen der Funktion.
2. Zeige, dass ${}f$ wohldefiniert ist.
3. Bestimme die Fixpunkte von ${}f$.
4. Bestimme die Fixpunkte der Hintereinanderschaltung ${}f\circ f$.
5. Zeige, dass ${}f$ stetig ist.
6. Was hat die Abbildung mit der Halbierung eines Blatt Papieres zu tun?

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Aus der Menge ${}\{0,1,2,3,4,5\}\times \{0,1,2,3,4,5\}$ werden zufällig zwei Punkte ausgewählt und dann wird die durch diese beiden Punkte definierte Gerade bestimmt.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Diagonale herauskommt?
2. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei eine zur Diagonalen parallele Gerade herauskommt?

Aufgabe * (3 Punkte)

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {3}{4}}$, wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {2}{3}}$, andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?

Aufgabe (0 Punkte)