Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 1 }
\renewcommand{\asechs}{ 10 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 6 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwortpraemath {m \times n} {Matrix}{} über einem Körper $K$.
}{Eine \stichwort {Relation} {} zwischen Mengen \mathkor {} {M} {und} {N} {.}
}{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Ein \stichwort {halboffenes Intervall} {} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} $K$.
}{Eine \stichwort {Nullfolge} {} in einem angeordneten Körper $K$.
}{Der \stichwort {Kreis} {} mit dem Mittelpunkt $(a,b)$ und dem Radius $r$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Unter einer
$m \times n$-Matrix
über $K$ versteht man ein Schema der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { , }
wobei
\mathl{a_{ij} \in K}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{i
}
{ \leq }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{j
}
{ \leq }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Eine Relation $R$ zwischen den Mengen
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
ist eine
\definitionsverweis {Teilmenge}{}{}
der
\definitionsverweis {Produktmenge}{}{}
\mathl{M \times N}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{ M \times N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.}
} {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}}
}{Unter einem halboffenen Intervall versteht man ein Intervall der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{[a,b[
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a \leq x < b \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{]a,b]
}
{ =} { { \left\{ x \in K \mid a < x \leq b \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Eine Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} heißt Nullfolge, wenn sie gegen $0$ konvergiert.
}{Man nennt die Menge
\mathdisp {{ \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} }} { }
den Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Charakterisierungssatz für Basen im
\mathl{K^m}{.}}{Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.}{Die
\stichwort {Division mit Rest} {}
im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathl{v_1= \begin{pmatrix} a_{11} \\\vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix}, v_2= \begin{pmatrix} a_{12} \\\vdots\\ a_{m2} \end{pmatrix} , \ldots , v_n = \begin{pmatrix} a_{1n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix}}{} Vektoren im $K^m$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{Die Vektoren bilden eine Basis des $K^m$.
}{Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des $K^m$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der $v_j$ ist die triviale Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { 0 \cdot v_1 + \cdots + 0 \cdot v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für jedes
\mathl{w = \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_m \end{pmatrix} \in K^m}{} besitzt das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_1 \begin{pmatrix} a_{11} \\\vdots\\ a_{m1} \end{pmatrix} + s_2 \begin{pmatrix} a_{12} \\\vdots\\ a_{m2} \end{pmatrix} + \cdots + s_n \begin{pmatrix} a_{1n} \\\vdots\\ a_{mn} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_m \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine eindeutige Lösung.
}}{Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.}{Es seien
\mathl{P,T \in K[X]}{} zwei Polynome mit
\mathl{T \neq 0}{.} Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome
\mathl{Q,R \in K[X]}{} mit
\mathdisp {P = T Q + R \text{ und mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (T)
\text{ oder } R = 0} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Löse das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x-5y+7z
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-2 x+4y+3z
}
{ =} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} {-2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -5y+7z
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4y +3z
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 z
}
{ =} { 45
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 45 }{ 43 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ 5-3z }{ 4 } }
}
{ =} { { \frac{ 215 - 135 }{ 172 } }
}
{ =} { { \frac{ 80 }{ 172 } }
}
{ =} { { \frac{ 20 }{ 43 } }
}
}
{}{}{.}
Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit
\mathdisp {\left( -2 , \, { \frac{ 20 }{ 43 } } , \, { \frac{ 45 }{ 43 } } \right)} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige die folgenden Eigenschaften.
\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Für jede
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
\mathl{\sum_{i = 1}^k s_i v_i}{} in $K^n$ gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^ks_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ =} { \varphi(0+0)
}
{ =} { \varphi(0) + \varphi(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Addition mit dem negativen Element zu
\mathl{\varphi(0)}{,} also mit $- \varphi(0)$, ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \varphi(0)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Wir beweisen die Aussage durch Induktion über $k$. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{k
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^{k+1} s_i v_i \right) }
}
{ =} {\varphi { \left( \sum_{i = 1}^{k} s_i v_i \right) } + \varphi { \left( s_{k+1} v_{k+1} \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } + \varphi { \left( s_{k+1} v_{k+1} \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k s_i \varphi { \left( v_i \right) } + s_{k+1} \varphi { \left( v_{k+1} \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{k+1} s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
}
{}
{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gartentoreverbindung.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gartentoreverbindung.png } {} {Bocardodarapti} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.
}
{Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{10 (2+2+5+1)}
{
Wir betrachten auf $\N_+$ die Relation $\sim$, die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ \sim} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist, falls $m$ eine Potenz von $n$ und $n$ eine Potenz von $m$ teilt.
\aufzaehlungvier{Zeige, dass $\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
}{Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.
\mathdisp {100,\, 1000, \, 9,\, 125, \, 500 , \, 27, \, 10, \, 210} { . }
}{Es sei $Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei $\mathbb P$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge
\mathl{\mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )}{.} Zeige, dass es eine natürliche Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {}
gibt, die zu einer injektiven Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {}
führt. Ist $\tilde{\varphi}$ surjektiv?
}{Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?
}
}
{
\aufzaehlungvier{Die Reflexivität ist klar, da $n$ die erste Potenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{n^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
teilt. Die Symmetrie ist von der Formulierung her klar. Zum Nachweis der Transitivität sei
\mathl{\ell \sim m}{} und
\mathl{m \sim n}{.} Dann ist $\ell$ ein Teiler von
\mathl{m^r}{} für ein gewisses
\mathl{r \in \N}{} und $m$ ist ein Teiler von
\mathl{n^s}{} für ein gewisses
\mathl{s \in \N}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell a
}
{ =} {m^r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ m b
}
{ =} {n^s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daraus folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ell a b^r
}
{ =} { m^r b^r
}
{ =} { (mb)^{r}
}
{ =} { { \left( n^s \right) }^r
}
{ =} { n^{sr}
}
}
{}{}{,}
sodass $\ell$ eine Potenz von $n$ teilt. Die umgekehrte Teilbarkeitsbeziehung ergibt sich genauso.
}{Es ist offenbar
\mathl{10 \sim 100 \sim 1000 \sim 500}{}
\zusatzklammer {es kommen jeweils die Primfaktoren
\mathkor {} {2} {und} {5} {} vor} {} {}
und
\mathl{9 \sim 27=3^3}{,} darüber hinaus sind $125=5^3$ und
\mathl{210=2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{} nur zu sich selbst äquivalent. Dies ergibt sich aus der Charakterisierung der Relation mit Primteilern aus dem folgenden Teil.
}{Wir betrachten die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\N_+} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {n} { \{ \text{Primteiler von } n \}
} {,}
die einer natürlichen Zahl
\mathl{n \in \N_+}{} die Menge der in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommenden Primzahlen zuordnet.
Es sei
\mathl{m \sim n}{.} Da in einer Potenz
\zusatzklammer {zu einem positiven Exponenten} {} {}
die gleichen Primfaktoren vorkommen
\zusatzklammer {nur ihre Vielfachheit ändert sich} {} {}
folgt aus der Eigenschaft, dass $m$ eine Potenz von $n$ teilt, dass die Primteiler von $m$ in den Primteilern von $n$ enthalten sein müssen. Aus
\mathl{m \sim n}{} folgt also, dass die Primteiler der beiden Zahlen überhaupt gleich sind. Nach
Satz 39.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
gibt es daher eine zugehörige Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { Q} { \mathfrak {P} \, ({\mathbb P} )
} {.}
Diese ist injektiv, da wenn von $m$ und $n$ die Primteiler übereinstimmen, dann $m$ eine hinreichend große Potenz von $n$ teilt und umgekehrt. Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da nur endliche Teilmengen der Primzahlen im Bild liegen, es aber unendlich viele Primzahlen gibt.
}{Ein Repräsentantensystem besteht aus allen natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sämtliche Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung gleich $1$ sind.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{44}}{} in
\mathl{\Z/(97)}{.}
}
{
Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{97
}
{ =} { 2 \cdot 44 + 9
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{44
}
{ =} { 4 \cdot 9 +8
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9
}
{ =} { 1 \cdot 8 +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1
}
{ =} { 9-1 \cdot 8
}
{ =} { 9-1 \cdot ( 44-4 \cdot 9 )
}
{ =} { 5 \cdot 9 -1 \cdot 44
}
{ =} { 5 \cdot (97-2 \cdot 44) -1 \cdot 44
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5 \cdot 97 -11 \cdot 44
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-11
}
{ =} { 86
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das inverse Element zu $44$ in
\mathl{\Z/(97)}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_0
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\zusatzklammer {es sollen also die Approximationen
\mathl{x_1,x_2,x_3}{} für $\sqrt{7}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden} {} {.}
}
{
Die Formel für
\mathl{x_{n+1}}{} lautet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_{n+1}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( x_n + { \frac{ 7 }{ x_n } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 3 + { \frac{ 7 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 9+7 }{ 3 } } \right) }
}
{ =} {{ \frac{ 16 }{ 6 } }
}
{ =} {{ \frac{ 8 }{ 3 } }
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 7 }{ 8/3 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 8 }{ 3 } } + { \frac{ 21 }{ 8 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 64+63 }{ 24 } }
}
{ =} { { \frac{ 127 }{ 48 } }
}
}
{}{}{.}
Schließlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 7 }{ 127/48 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( { \frac{ 127 }{ 48 } } + { \frac{ 336 }{ 127 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \cdot { \frac{ 16129+16128 }{ 6096 } }
}
{ =} { { \frac{ 32257 }{ 12192 } }
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Cauchy-Folge}{}{}
in einem
\definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{}
\mathl{K}{} derart, dass es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \geq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $n$ gibt. Zeige, dass die Folge
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x_n } }}{} ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gibt es ein $n_1$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x_m-x_n }
}
{ \leq} { \epsilon \delta^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \geq }{n_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m,n
}
{ \geq }{ N
}
{ \defeq }{ \operatorname{max} \{n_0, n_1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { y_m-y_n }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ 1 }{ x_m } } - { \frac{ 1 }{ x_n } } }
}
{ =} { \betrag { { \frac{ x_n -x_m }{ x_m x_n } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \betrag { x_m } \cdot \betrag { x_n } } } \betrag { x_m-x_n }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ \delta^2 } } \cdot \epsilon \delta^2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
beginnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { 0{,}523\,107\,34\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 0{,}346\,892\,65\dotso
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe
\mathl{x+y}{} sagen?
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0,523 107 34
}
{ \leq} { x
}
{ <} {0,523 107 35
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0,346 892 65
}
{ \leq} { y
}
{ <} { 0,346 892 66
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Von daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0,86 999 999
}
{ \leq} { x+y
}
{ <} { 0,870 000 01
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit steht fest, dass die Summe mit $0,8$ beginnt und dass die zweite Nachkommastelle gleich
\mathkor {} {6} {oder} {7} {}
ist. Die dritte bis zur achten Nachkommastelle sind entweder alle gleich $9$ oder alle gleich $0$. Für die neunte und die weiteren Nachkommastellen weiß man nichts, nur, dass wenn die neunte Nachkommastelle gleich $9$ ist, dass dann die vorhergehenden Ziffern auch gleich $9$ sind.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.
}
{
Für jedes $x$ und jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x-1) { \left( \sum_{ k = 0}^n x^k \right) }
}
{ =} { x^{n+1} -1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gilt für die
\definitionsverweis {Partialsummen}{}{}
die Beziehung
\zusatzklammer {bei $x \neq 1$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s_n
}
{ =} { \sum_{ k = 0}^n x^k
}
{ =} { \frac{ x^{n+1} -1}{ x-1 }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{n \rightarrow \infty}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x }
}
{ < }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
dies wegen
Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
und
Aufgabe 28.31 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023))
gegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{-1}{x-1}
}
{ = }{ \frac{1}{1-x}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{
Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {(X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit verschiedenen $a_i$ und führen Induktion über den Grad $d=\sum_{j=1}^r n_j$ von $P$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms $Q$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} {QT
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Damit ist insbesondere
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ T(a_1) \cdot Q(a_1)
}
{ =} { P(a_1)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt
\mathkor {} {T(a_1) = 0} {oder} {Q(a_1) = 0} {.}
Nach
Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017))
bedeutet dies, dass
\mathkor {} {T} {oder} {Q} {}
von $X-a_1$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (X-a_1)^{n_1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} {(X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T Q' (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T Q'
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und wir können auf $P'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} {T' (X-a_1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
woraus sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X-a_1) (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { (X-a_1) T' Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { (X-a_1)^{n_1-1} (X-a_2)^{n_2} \cdots (X-a_r)^{n_r}
}
{ =} { T' Q
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $P'$ bedeutet, dass $T'$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus $P'$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von $P'$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu
\mathl{X-a_j}{} in $P$ und in $P'$ für
\mathl{j \geq 2}{} übereinstimmen und die Vielfachheit von
\mathl{X-a_1}{} sich um $1$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von $T$ nach $T'$ zutrifft, folgt die Aussage.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{
Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b+c
}
{ =} {2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+b+c
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a+3b+9c
}
{ =} {5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mathl{I-II}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{b
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{I-III}{} führt auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4b-8c
}
{ =} {-3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } - { \frac{ 1 }{ 2 } } b
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 8 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 8 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das gesuchte Polynom ist also
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ 8 } }-X + { \frac{ 7 }{ 8 } } X^2} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { x^3-5x^2-x+2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(-2) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Unter der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { f(x)-f(-2) }
}
{ =} { \betrag { x^3-5x^2-x+2- { \left( (-2)^3 -5 \cdot (-2)^2 -(-2) +2 \right) } }
}
{ =} { \betrag { x^3-5x^2-x+2- (-2)^3 +5 \cdot (-2)^2 -2 -2 }
}
{ =} { \betrag { x^3- (-2)^3 -5 { \left( x^2 - (-2)^2 \right) } -x-2 }
}
{ \leq} { \betrag { x^3- (-2)^3 } +5 \betrag { x^2 - (-2)^2 } + \betrag { x+2 }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \betrag { x+2 } \cdot \betrag { x^2 - 2x + (-2)^2 } + 5 \betrag { x+2 } \cdot \betrag { x-2 } + \betrag { x+2 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot \betrag { x^2 - 2x + (-2)^2 } + { \frac{ 5 }{ 1000 } } \cdot \betrag { x-2 } + { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 1000 } } \cdot \betrag { 9 +6 +4 } + { \frac{ 5 }{ 1000 } } \cdot 5 + { \frac{ 1 }{ 1000 } }
}
{ =} { { \frac{ 45 }{ 1000 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 20 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {endlichen Wahrscheinlichkeitsraum}{}{}
\mathl{\{ a,b,c,d,e\}}{}
mit der
\definitionsverweis {Wahrscheinlichkeitsdichte}{}{}
\mathdisp {f(a) = { \frac{ 1 }{ 100 } } ,\, f(b) = { \frac{ 1 }{ 25 } } = { \frac{ 4 }{ 100 } } ,\, f(c) = { \frac{ 1 }{ 5 } } = { \frac{ 20 }{ 100 } } ,\, f(d) = { \frac{ 1 }{ 4 } } = { \frac{ 25 }{ 100 } },\, f(e) = { \frac{ 1 }{ 2 } } = { \frac{ 50 }{ 100 } }} { . }
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
\aufzaehlungvier{
\mathl{\{a, e\}}{,}
}{
\mathl{\{b,c,e\}}{,}
}{
\mathl{\{a, c,d\}}{,}
}{
\mathl{\{a,b,d,e\}}{.}
}
}
{
Es ist
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{a, e\} \right) }
}
{ =} { f(a) +f(e)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 100 } } + { \frac{ 50 }{ 100 } }
}
{ =} {{ \frac{ 51 }{ 100 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{b,c, e\} \right) }
}
{ =} { f(b) +f(c)+f(e)
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 100 } }+ { \frac{ 20 }{ 100 } } + { \frac{ 50 }{ 100 } }
}
{ =} {{ \frac{ 74 }{ 100 } }
}
{ =} {{ \frac{ 37 }{ 50 } }
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{a,c,d \} \right) }
}
{ =} { f(a)+f(c) +f(d)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 100 } }+ { \frac{ 20 }{ 100 } } + { \frac{ 25 }{ 100 } }
}
{ =} { { \frac{ 46 }{ 100 } }
}
{ =} {{ \frac{ 23 }{ 50 } }
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu { \left( \{a,b,d, e\} \right) }
}
{ =} { f(a) +f(b) +f(d) + f(e)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 100 } } + { \frac{ 4 }{ 100 } }+ { \frac{ 25 }{ 100 } } + { \frac{ 50 }{ 100 } }
}
{ =} {{ \frac{ 80 }{ 100 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 5 } }
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+2+1)}
{
Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.
\aufzaehlungdrei{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}9$?
}{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 0{,}6$?
}{In welchem minimalen Bereich der Form
\mathl{\{5-k , \ldots , 5+k \}}{} liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von $\geq 25\,\%$?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es gibt insgesamt
\mathl{2^{10}=1024}{} mögliche Wurffolgen, jede besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau $i$-mal Kopf geworfen wird, ist
\mathdisp {{ \frac{ \binom { 10 } { i } }{ 1024 } }} { . }
Da die Bedingung spiegelsymmetrisch zur Mitte $5$ ist, geht es um das minimale $k$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 0}^{5-k-1} { \frac{ \binom { 10 } { i } }{ 1024 } }
}
{ <} {0{,}05
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1024 } } + { \frac{ 10 }{ 1024 } }
}
{ <} {0{,}05
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ 1024 } } + { \frac{ 10 }{ 1024 } } + { \frac{ 45 }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 56 }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 7 }{ 128 } }
}
{ \geq} {0{,}05
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
der Bereich ist also
\mathl{\{2,3 , \ldots , 8\}}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 10 } { 5 } }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ \,\, { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 }{ 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } \,\, }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 9 \cdot 4 \cdot 7 }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 252 }{ 1024 } }
}
{ <} {0{,}6
}
}
{}
{}{.}
Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \binom { 10 } { 4 } }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ \, \, { \frac{ 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 }{ 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } } \, \, }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 10 \cdot 3 \cdot 7 }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 210 }{ 1024 } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 210 }{ 1024 } } + { \frac{ 252 }{ 1024 } } + { \frac{ 210 }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 672 }{ 1024 } }
}
{ >} { 0{,}6
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mathl{\{4,5,6\}}{} der gesuchte Bereich.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25\,\%
}
{ =} { 0{,}25
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \binom { 10 } { 5 } }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 252 }{ 1024 } }
}
{ =} { { \frac{ 63 }{ 256 } }
}
{ <} { { \frac{ 64 }{ 256 } }
}
{ =} {0{,}25
}
}
{}{}{}
ist auch hier
\mathl{\{4,5,6\}}{} der gesuchte Bereich.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Welche Eigenschaften der reellen Zahlen kann man am Zahlenstrahl gut illustrieren, für welche ist das schwierig?