Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/9/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	1	10	3	3	4	2	4	6	3	3	2	5	4	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine ${}m\times n$-Matrix über einem Körper ${}K$.
2. Eine Relation zwischen Mengen ${}M$ und ${}N$.
3. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
4. Ein halboffenes Intervall in einem angeordneten Körper ${}K$.
5. Eine Nullfolge in einem angeordneten Körper ${}K$.
6. Der Kreis mit dem Mittelpunkt ${}(a,b)$ und dem Radius ${}r$.

Lösung

1. Unter einer ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ versteht man ein Schema der Form

   ${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

   wobei ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$ ist.

2. Eine Relation ${}R$ zwischen den Mengen ${}M$ und ${}N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times N$, also ${}R\subseteq M\times N$.
3. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
4. Unter einem halboffenen Intervall versteht man ein Intervall der Form

   ${}[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x<b\right\}}\,$

   oder

   ${}]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x\leq b\right\}}\,.$

5. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ heißt Nullfolge, wenn sie gegen ${}0$ konvergiert.
6. Man nennt die Menge

   ${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$

   den Kreis mit dem Mittelpunkt ${}M$ und dem Radius ${}r$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Charakterisierungssatz für Basen im ${}K^{m}$.
2. Die Eigenschaften des Cauchy-Folgen-Modells der reellen Zahlen.
3. Die Division mit Rest im Polynomring ${}K[X]$ über einem Körper ${}K$.

Lösung

1. Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   1. Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$.
   2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung

      ${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$

   3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem

      ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

      eine eindeutige Lösung.

2. Das Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen ist ein vollständiger archimedisch angeordneter Körper.
3. Es seien ${}P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

   $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x-5y+7z=-3\,,$

${}-2x+4y+3z=9\,,$

${}x=-2\,.$

Lösung

Wir setzen die dritte Gleichung in die beiden ersten Gleichungen ein und erhalten

${}-5y+7z=5\,$

und

${}4y+3z=5\,.$

Wir addieren das Vierfache der ersten mit dem Fünffachen der zweiten Gleichung und erhalten

${}43z=45\,.$

Somit ist

${}z={\frac {45}{43}}\,$

und

${}y={\frac {5-3z}{4}}={\frac {215-135}{172}}={\frac {80}{172}}={\frac {20}{43}}\,.$

Die einzige Lösung des Gleichungssystems ist somit

$\left(-2,\,{\frac {20}{43}},\,{\frac {45}{43}}\right).$

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ eine lineare Abbildung. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Es ist ${}\varphi (0)=0$.
2. Für jede Linearkombination ${}\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}$ in ${}K^{n}$ gilt

   ${}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}\,.$

Lösung

1. Aufgrund der Additivität der linearen Abbildung ist

   ${}\varphi (0)=\varphi (0+0)=\varphi (0)+\varphi (0)\,.$

   Addition mit dem negativen Element zu ${}\varphi (0)$, also mit ${}-\varphi (0)$, ergibt

   ${}0=\varphi (0)\,.$

2. Wir beweisen die Aussage durch Induktion über ${}k$. Für

   ${}k=1\,$

   ist dies einfach die Verträglichkeit einer linearen Abbildung mit der Skalarmultiplikation. Unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und der Verträglichkeit mit Addition und Skalarmultiplikation ist

   ${}{\begin{aligned}\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}v_{i}\right)}&=\varphi {\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+\varphi {\left(s_{k+1}v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}+s_{k+1}\varphi {\left(v_{k+1}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{k+1}s_{i}\varphi {\left(v_{i}\right)}.\end{aligned}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Lege in der Skizze für die drei Häuser überschneidungsfrei Wege zu den zugehörigen gleichfarbigen Gartentoren an.

Lösung Häuser/Gartentor/Verbindung/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (10 (2+2+5+1) Punkte)

Wir betrachten auf ${}\mathbb {N} _{+}$ die Relation ${}\sim$, die durch

${}m\sim n\,$

festgelegt ist, falls ${}m$ eine Potenz von ${}n$ und ${}n$ eine Potenz von ${}m$ teilt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Bestimme, welche der folgenden Elemente zueinander äquivalent sind, welche nicht.

   $100,\,1000,\,9,\,125,\,500,\,27,\,10,\,210.$

3. Es sei ${}Q$ die Quotientenmenge zu dieser Äquivalenzrelation und es sei ${}\mathbb {P}$ die Menge der Primzahlen mit der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$. Zeige, dass es eine natürliche Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$

   gibt, die zu einer injektiven Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} })$

   führt. Ist ${}{\tilde {\varphi }}$ surjektiv?

4. Wie sieht ein besonders einfaches Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation aus?

Lösung

1. Die Reflexivität ist klar, da ${}n$ die erste Potenz ${}n=n^{1}$ teilt. Die Symmetrie ist von der Formulierung her klar. Zum Nachweis der Transitivität sei ${}\ell \sim m$ und ${}m\sim n$. Dann ist ${}\ell$ ein Teiler von ${}m^{r}$ für ein gewisses ${}r\in \mathbb {N}$ und ${}m$ ist ein Teiler von ${}n^{s}$ für ein gewisses ${}s\in \mathbb {N}$. Dann ist

   ${}\ell a=m^{r}\,$

   und

   ${}mb=n^{s}\,$

   und daraus folgt

   ${}\ell ab^{r}=m^{r}b^{r}=(mb)^{r}={\left(n^{s}\right)}^{r}=n^{sr}\,,$

   so dass ${}\ell$ eine Potenz von ${}n$ teilt. Die umgekehrte Teilbarkeitsbeziehung ergibt sich genauso.

2. Es ist offenbar ${}10\sim 100\sim 1000\sim 500$ (es kommen jeweils die Primfaktoren ${}2$ und ${}5$ vor) und ${}9\sim 27=3^{3}$, darüber hinaus sind ${}125=5^{3}$ und ${}210=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$ nur zu sich selbst äquivalent. Dies ergibt sich aus der Charakterisierung der Relation mit Primteilern aus dem folgenden Teil.
3. Wir betrachten die Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} }),\,n\longmapsto \{{\text{Primteiler von }}n\},$

   die einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ die Menge der in der Primfaktorzerlegung von ${}n$ vorkommenden Primzahlen zuordnet. Es sei ${}m\sim n$. Da in einer Potenz (zu einem positiven Exponenten) die gleichen Primfaktoren vorkommen (nur ihre Vielfachheit ändert sich) folgt aus der Eigenschaft, dass ${}m$ eine Potenz von ${}n$ teilt, dass die Primteiler von ${}m$ in den Primteilern von ${}n$ enthalten sein müssen. Aus ${}m\sim n$ folgt also, dass die Primteiler der beiden Zahlen überhaupt gleich sind. Nach Satz 39.13 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gibt es daher eine zugehörige Abbildung

   ${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,({\mathbb {P} }).$

   Diese ist injektiv, da wenn von ${}m$ und ${}n$ die Primteiler übereinstimmen, dann ${}m$ eine hinreichend große Potenz von ${}n$ teilt und umgekehrt. Diese Abbildung ist nicht surjektiv, da nur endliche Teilmengen der Primzahlen im Bild liegen, es aber unendlich viele Primzahlen gibt.

4. Ein Repräsentantensystem besteht aus allen natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft, dass sämtliche Exponenten in ihrer Primfaktorzerlegung gleich ${}1$ sind.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Lösung

Der euklidische Algorithmus liefert

${}97=2\cdot 44+9\,,$

${}44=4\cdot 9+8\,,$

${}9=1\cdot 8+1\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}1&=9-1\cdot 8\\&=9-1\cdot (44-4\cdot 9)\\&=5\cdot 9-1\cdot 44\\&=5\cdot (97-2\cdot 44)-1\cdot 44\\&=5\cdot 97-11\cdot 44.\end{aligned}}$

Daher ist

${}-11=86\,$

das inverse Element zu ${}44$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu ${}b=7$ mit dem Startwert ${}x_{0}=3$ durch (es sollen also die Approximationen ${}x_{1},x_{2},x_{3}$ für ${}{\sqrt {7}}$ berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).

Lösung

Die Formel für ${}x_{n+1}$ lautet

${}x_{n+1}={\frac {1}{2}}{\left(x_{n}+{\frac {7}{x_{n}}}\right)}\,.$

Daher ist

${}x_{1}={\frac {1}{2}}{\left(3+{\frac {7}{3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {9+7}{3}}\right)}={\frac {16}{6}}={\frac {8}{3}}\,.$

Somit ist

${}x_{2}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {7}{8/3}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {8}{3}}+{\frac {21}{8}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {64+63}{24}}={\frac {127}{48}}\,.$

Schließlich ist

${}x_{3}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {7}{127/48}}\right)}={\frac {1}{2}}{\left({\frac {127}{48}}+{\frac {336}{127}}\right)}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {16129+16128}{6096}}={\frac {32257}{12192}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper ${}K$ derart, dass es ein ${}\delta >0$ mit ${}x_{n}\geq \delta$ für alle ${}n$ gibt. Zeige, dass die Folge ${}{\frac {1}{x_{n}}}$ ebenfalls eine Cauchy-Folge ist.

Lösung

Sei ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wegen der Cauchy-Eigenschaft von ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gibt es ein ${}n_{1}$ mit

${}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \leq \epsilon \delta ^{2}\,$

für alle ${}m,n\geq n_{1}$. Dann gilt für alle ${}m,n\geq N:=\operatorname {max} \{n_{0},n_{1}\}$ die Abschätzung

${}{\begin{aligned}\vert {y_{m}-y_{n}}\vert &=\vert {{\frac {1}{x_{m}}}-{\frac {1}{x_{n}}}}\vert \\&=\vert {\frac {x_{n}-x_{m}}{x_{m}x_{n}}}\vert \\&={\frac {1}{\vert {x_{m}}\vert \cdot \vert {x_{n}}\vert }}\vert {x_{m}-x_{n}}\vert \\&\leq {\frac {1}{\delta ^{2}}}\cdot \epsilon \delta ^{2}\\&=\epsilon .\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Die Dezimalentwicklungen der beiden reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ beginnen

${}x=0{,}523\,107\,34\dotso \,$

und

${}y=0{,}346\,892\,65\dotso \,$

Was kann man über die Ziffernentwicklung der Summe ${}x+y$ sagen?

Lösung

Es ist

${}0,52310734\leq x<0,52310735\,$

und

${}0,34689265\leq y<0,34689266\,.$

Von daher ist

${}0,86999999\leq x+y<0,87000001\,.$

Somit steht fest, dass die Summe mit ${}0,8$ beginnt und dass die zweite Nachkommastelle gleich ${}6$ oder ${}7$ ist. Die dritte bis zur achten Nachkommastelle sind entweder alle gleich ${}9$ oder alle gleich ${}0$. Für die neunte und die weiteren Nachkommastellen weiß man nichts, nur, dass wenn die neunte Nachkommastelle gleich ${}9$ ist, dass dann die vorhergehenden Ziffern auch gleich ${}9$ sind.

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Konvergenz der geometrischen Reihe.

Lösung

Für jedes ${}x$ und jedes ${}n\in \mathbb {N}$ gilt die Beziehung

${}(x-1){\left(\sum _{k=0}^{n}x^{k}\right)}=x^{n+1}-1\,$

und daher gilt für die Partialsummen die Beziehung (bei ${}x\neq 1$)

${}s_{n}=\sum _{k=0}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}\,.$

Für ${}n\rightarrow \infty$ und ${}\vert {x}\vert <1$ konvergiert dies wegen Lemma 44.11 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) und Aufgabe 28.31 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)) gegen ${}{\frac {-1}{x-1}}={\frac {1}{1-x}}$.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${}T$ ein Teiler von ${}P$. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${}X-a$ in ${}T$ durch seine Vielfachheit in ${}P$ beschränkt ist.

Lösung

Wir arbeiten mit normierten Polynomen und schreiben

${}P=(X-a_{1})^{n_{1}}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}\,$

mit verschiedenen ${}a_{i}$ und führen Induktion über den Grad ${}d=\sum _{j=1}^{r}n_{j}$ von ${}P$. Die Teilbarkeitsbeziehung bedeutet die Existenz eines Polynoms ${}Q$ mit

${}P=QT\,.$

Damit ist insbesondere

${}T(a_{1})\cdot Q(a_{1})=P(a_{1})=0\,.$

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper gilt ${}T(a_{1})=0$ oder ${}Q(a_{1})=0$. Nach Lemma 50.7 (Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)) bedeutet dies, dass ${}T$ oder ${}Q$ von ${}X-a_{1}$ geteilt wird. Im zweiten Fall schreiben wir

${}{\begin{aligned}(X-a_{1})^{n_{1}}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}&=(X-a_{1})(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}\\&=TQ'(X-a_{1}).\end{aligned}}$

Aufgrund der Nichtnullteilereigenschaft im Polynomring folgt daraus

${}P'=(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=TQ'\,$

und wir können auf ${}P'$ die Induktionsvoraussetzung anwenden. Im ersten Fall ist

${}T=T'(X-a_{1})\,,$

woraus sich

${}(X-a_{1})(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=(X-a_{1})T'Q\,$

und somit

${}P'=(X-a_{1})^{n_{1}-1}(X-a_{2})^{n_{2}}\cdots (X-a_{r})^{n_{r}}=T'Q\,$

ergibt. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf ${}P'$ bedeutet, dass ${}T'$ in Linearfaktoren zerfällt und dass nur Linearfaktoren aus ${}P'$ mit einer Vielfachheit vorkommen, die durch die Vielfachheit von ${}P'$ beschränkt ist. Da die Vielfachheiten zu ${}X-a_{j}$ in ${}P$ und in ${}P'$ für ${}j\geq 2$ übereinstimmen und die Vielfachheit von ${}X-a_{1}$ sich um ${}1$ reduziert, dies aber auch beim Übergang von ${}T$ nach ${}T'$ zutrifft, folgt die Aussage.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Lösung

Die Bedingungen führen auf das lineare Gleichungssystem

${}a-b+c=2\,,$

${}a+b+c=0\,,$

${}a+3b+9c=5\,.$

${}I-II$ führt auf

${}b=-1\,$

und ${}I-III$ führt auf

${}-4b-8c=-3\,,$

also

${}c={\frac {3}{8}}-{\frac {1}{2}}b={\frac {3}{8}}+{\frac {1}{2}}={\frac {7}{8}}\,$

und somit

${}a={\frac {1}{8}}\,.$

Das gesuchte Polynom ist also

${\frac {1}{8}}-X+{\frac {7}{8}}X^{2}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

${}f(x)=x^{3}-5x^{2}-x+2\,.$

Zeige, dass für alle ${}x\in \mathbb {R}$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

${}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,,$

dann ist

${}\vert {f(x)-f(-2)}\vert \leq {\frac {1}{20}}\,.$

Lösung

Unter der Bedingung

${}\vert {x+2}\vert \leq {\frac {1}{1000}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}\vert {f(x)-f(-2)}\vert &=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-{\left((-2)^{3}-5\cdot (-2)^{2}-(-2)+2\right)}}\vert \\&=\vert {x^{3}-5x^{2}-x+2-(-2)^{3}+5\cdot (-2)^{2}-2-2}\vert \\&=\vert {x^{3}-(-2)^{3}-5{\left(x^{2}-(-2)^{2}\right)}-x-2}\vert \\&\leq \vert {x^{3}-(-2)^{3}}\vert +5\vert {x^{2}-(-2)^{2}}\vert +\vert {x+2}\vert \\&=\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +5\vert {x+2}\vert \cdot \vert {x-2}\vert +\vert {x+2}\vert \\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {x^{2}-2x+(-2)^{2}}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot \vert {x-2}\vert +{\frac {1}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{1000}}\cdot \vert {9+6+4}\vert +{\frac {5}{1000}}\cdot 5+{\frac {1}{1000}}\\&={\frac {45}{1000}}\\&\leq {\frac {1}{20}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten den endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}\{a,b,c,d,e\}$ mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$f(a)={\frac {1}{100}},\,f(b)={\frac {1}{25}}={\frac {4}{100}},\,f(c)={\frac {1}{5}}={\frac {20}{100}},\,f(d)={\frac {1}{4}}={\frac {25}{100}},\,f(e)={\frac {1}{2}}={\frac {50}{100}}.$

Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

1. ${}\{a,e\}$,
2. ${}\{b,c,e\}$,
3. ${}\{a,c,d\}$,
4. ${}\{a,b,d,e\}$.

Lösung

Es ist

1. ${}\mu {\left(\{a,e\}\right)}=f(a)+f(e)={\frac {1}{100}}+{\frac {50}{100}}={\frac {51}{100}}\,,$

2. ${}\mu {\left(\{b,c,e\}\right)}=f(b)+f(c)+f(e)={\frac {4}{100}}+{\frac {20}{100}}+{\frac {50}{100}}={\frac {74}{100}}={\frac {37}{50}}\,,$

3. ${}\mu {\left(\{a,c,d\}\right)}=f(a)+f(c)+f(d)={\frac {1}{100}}+{\frac {20}{100}}+{\frac {25}{100}}={\frac {46}{100}}={\frac {23}{50}}\,,$

4. ${}\mu {\left(\{a,b,d,e\}\right)}=f(a)+f(b)+f(d)+f(e)={\frac {1}{100}}+{\frac {4}{100}}+{\frac {25}{100}}+{\frac {50}{100}}={\frac {80}{100}}={\frac {4}{5}}\,.$

Aufgabe (5 (2+2+1) Punkte)

Eine faire Münze werde zehnmal geworfen. Wir interessieren uns für die Anzahl, wie oft Kopf geworfen wurde.

1. In welchem minimalen Bereich der Form ${}\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ${}\geq 0{,}9$?
2. In welchem minimalen Bereich der Form ${}\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ${}\geq 0{,}6$?
3. In welchem minimalen Bereich der Form ${}\{5-k,\ldots ,5+k\}$ liegt die Anzahl der Kopfwürfe mit einer Wahrscheinlichkeit von ${}\geq 25\,\%$?

Lösung

1. Es gibt insgesamt ${}2^{10}=1024$ mögliche Wurffolgen, jede besitzt die gleiche Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau ${}i$-mal Kopf geworfen wird, ist

   ${\frac {\binom {10}{i}}{1024}}.$

   Da die Bedingung spiegelsymmetrisch zur Mitte ${}5$ ist, geht es um das minimale ${}k$ mit

   ${}\sum _{i=0}^{5-k-1}{\frac {\binom {10}{i}}{1024}}<0{,}05\,.$

   Es ist

   ${}{\frac {1}{1024}}+{\frac {10}{1024}}<0{,}05\,$

   und

   ${}{\frac {1}{1024}}+{\frac {10}{1024}}+{\frac {45}{1024}}={\frac {56}{1024}}={\frac {7}{128}}\geq 0{,}05\,.$

   Somit ist ${}k=3$, der Bereich ist also ${}\{2,3,\ldots ,8\}$.

2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\frac {\binom {10}{5}}{1024}}&={\frac {\,\,{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{1024}}\\&={\frac {9\cdot 4\cdot 7}{1024}}\\&={\frac {252}{1024}}\\&<0{,}6.\end{aligned}}$

   Wegen

   ${}{\begin{aligned}{\frac {\binom {10}{4}}{1024}}&={\frac {\,\,{\frac {10\cdot 9\cdot 8\cdot 7}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}\,\,}{1024}}\\&={\frac {10\cdot 3\cdot 7}{1024}}\\&={\frac {210}{1024}}\end{aligned}}$

   und wegen

   ${}{\frac {210}{1024}}+{\frac {252}{1024}}+{\frac {210}{1024}}={\frac {672}{1024}}>0{,}6\,$

   ist ${}\{4,5,6\}$ der gesuchte Bereich.

3. Es ist

   ${}25\,\%=0{,}25\,.$

   Wegen

   ${}{\frac {\binom {10}{5}}{1024}}={\frac {252}{1024}}={\frac {63}{256}}<{\frac {64}{256}}=0{,}25\,$

   ist auch hier ${}\{4,5,6\}$ der gesuchte Bereich.

Aufgabe (4 Punkte)

Welche Eigenschaften der reellen Zahlen kann man am Zahlenstrahl gut illustrieren, für welche ist das schwierig?

Lösung Zahlenstrahl/Reelle Zahlen/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung