Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T2/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 2 | 3 | 1 | 7 | 3 | 3 | 2 | 2 | 4 | 3 | 3 | 3 | 3 | 4 | 3 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Ein Repräsentantensystem zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
- Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
- Ein
Ringhomomorphismus
zwischen Ringen und .
- Die Konvergenz einer Folge in einem angeordneten Körper gegen .
- Eine Cauchy-Folge in einem angeordneten Körper .
- Die Eulersche Zahl.
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe in einer kommutativen Gruppe .
- Das Quetschkriterium für Folgen in einem angeordneten Körper .
- Der Satz über die Intervallschachtelung.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und endliche Mengen mit bzw. Elementen und sei
eine surjektive Abbildung. Wie viele Abbildungen
mit
gibt es?
Aufgabe * (2 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Körper. Wir betrachten die Abbildung
Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung , welche nicht?
Aufgabe * (1 Punkt)
Erstelle eine Multiplikationstafel für den Restklassenring .
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Körpereigenschaft der Restklassenringe .
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme das inverse Element zu in .
Aufgabe * (3 Punkte)
Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper .
Aufgabe * (2 Punkte)
Drücke
mit einer einzigen Wurzel aus.
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper und seien rationale Zahlen. Zeige, dass es eine bijektive streng wachsende Abbildung
gibt, die rationale Zahlen in rationale Zahlen überführt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Führe die ersten drei Schritte des babylonischen Wurzelziehens zu mit dem Startwert durch (es sollen also die Approximationen für berechnet werden; diese Zahlen müssen als gekürzte Brüche angegeben werden).
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein Element in einem angeordneten Körper und sei die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Es sei , , und die Heron-Folge zur Berechnung von mit dem Startwert . Zeige
für alle .
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper, es sei eine Nullfolge in und eine beschränkte Folge in . Zeige, dass dann auch die Produktfolge eine Nullfolge ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein angeordneter Körper. Es sei eine Cauchy-Folge in , die eine konvergente Teilfolge enthalte. Zeige, dass die Folge konvergiert.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe (4 Punkte)
Erläutere, wie man Lücken auf der Zahlengeraden erkennen und auffüllen kann.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es seien und zwei nichtnegative reelle Zahlen. Zeige, dass das arithmetische Mittel der beiden Zahlen mindestens so groß wie ihr geometrisches Mittel ist.