Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil I/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
\zwischenueberschrift{Schriftliches Multiplizieren}
Die Grundidee für das schriftliche Multiplizieren liegt
im allgemeinen Distributivgesetz.
Für zwei natürliche Zahlen der Form
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell}} { }
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m \cdot n
}
{ =} { { \left( a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \right) } \cdot { \left( b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell} \right) }
}
{ =} { \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i} \cdot 10^{j}
}
{ =} { \sum_{0 \leq i \leq k,\, 0 \leq j \leq \ell } a_i b_j 10^{i + j}
}
{ =} { \sum_{s = 0}^{k + \ell} { \left( \sum_{i = 0}^{ k} a_i b_{s-i} \right) } 10^s
}
}
{}
{}{.}
Hierbei ist im Allgemeinen der Vorfaktor
\mathl{\sum_{i = 0}^{ k} a_i b_{s-i}}{} nicht kleiner als $10$, aus diesem Ausdruck ist also nicht unmittelbar die Ziffernentwicklung des Produktes ablesbar. In einer solchen Situation ist
Bemerkung 14.5
anwendbar. Dies ist aber nicht das Verfahren zum schriftlichen Multiplizieren.
\inputverfahren{}
{
Beim \stichwort {schriftlichen Multiplizieren} {}
\mathl{m \cdot n}{} zweier natürlicher Zahlen, die im Dezimalsystem als
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell}} { }
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor.
\aufzaehlungdrei{Man berechnet für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j
}
{ = }{0,1 , \ldots , \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einzeln die Dezimalziffern
$c_i$ des Teilproduktes
\mathl{m \cdot b_j}{} und die \stichwort {Überträge} {}
\mathl{d_{i+1}}{}
\zusatzklammer {mit dem Startwert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sukzessive über die Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_i b_j + d_i
}
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 + c_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { c_i
}
{ \leq} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die zu den $j$
\zusatzklammer {bzw. $b_j$} {} {}
gehörenden Ziffernfolgen schreibt man untereinander, wobei jeweils $c_0$ unterhalb von $b_j$ steht.
}{Man summiert die verschiedenen verschobenen Teilprodukte im Sinne des schriftlichen Addierens.
}
Das Ergebnis
\zusatzklammer {im Dezimalsystem} {} {}
dieser Addition ist die Ausgabe des Multiplikationsalgorithmus.
}
Das Problem, dass bei der distributiven Multiplikation von zwei natürlichen Zahlen im Dezimalsystem die Vorfaktoren zu groß sind, tritt schon dann auf, wenn die zweite Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{b_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einstellig ist
\zusatzklammer {sogar wenn beide Zahlen einstellig sind; dies wird durch das kleine Einmaleins erledigt} {} {.}
Diesen Fall betrachten wir zuerst.
\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Korrekt/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das schriftliche Multiplizieren mit einem einstelligen zweiten Faktor im Zehnersystem ist korrekt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die linke Faktor sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} {a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der rechte Faktor sei $b_0$, wir haben also die schriftliche Multiplikation der Form
\mathdisp {a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_0} { }
im Sinne von
Verfahren 16.1
durchzuführen. Das Ergebnis ist die Zahl
\mathl{c_{k+1}c_k \ldots c_2c_1c_0}{.} Wir müssen zeigen, dass dies das wahre Produkt ist. Dies zeigen wir durch das folgende Invarianzprinzip des Multiplikationsalgorithmus, dass nämlich nach dem $i$-ten Schritt
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i
}
{ = }{-1,0,1 , \ldots , k+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
der Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{P_i
}
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} + c_i 10^{i} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konstant ist. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m \cdot b_0
}
{ =} {P_{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und da für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ >} {k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Produkt vollständig abgebaut ist, folgt daraus, dass die $c_i$ die Ziffern des Produktes sind. Die Konstanz ergibt sich unter Verwendung von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i b_0 +d_i
}
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 + c_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
\zusatzklammer {das beschreibt den $i$-ten Rechenschritt} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{P_{i-1}
}
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i} 10^{i} \right) } \cdot b_0 + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + a_{i} b_0 10^{i} + d_{i} 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + { \left( a_{i} b_0 + d_{i} \right) } 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + { \left( d_{i+1} 10 +c_i \right) } 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( a_k 10^k + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} \right) } \cdot b_0 + d_{i+1} 10^{i+1} +c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ =} {P_{i}
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die folgenden Überlegungen beziehen sich auf die Überträge bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl.
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Einstelliger Faktor/Übertrag/Abschätzung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Beim schriftlichen Multiplizieren mit einer einstelligen Zahl $b$}
\faktfolgerung {sind die Überträge stets $< b$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe *****. }
Der Übertrag $b-1$ tritt in der Tat auf, wie die Multiplikation der $9$ mit $b$ zeigt.
\inputbeispiel{}
{
Der Übertrag bei der Multiplikation mit einer einstelligen Zahl $b$ wirkt sich im Allgemeinen auf jede Ziffer des Ergebnisses aus, d.h. Überträge setzen sich fort. Daher muss man die einzelnen Ziffern von hinten nach vorne mit $b$ multiplizieren. Beispielsweise ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mathkor {} {m= 333 333 333} {bzw.} {n = 333 333 334} {}
einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 333 333 333 \cdot 3
}
{ =} { 999 999 999
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 333 333 334 \cdot 3
}
{ =} {1 000 000 002
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
Im Gegensatz zur Multiplikation mit der $3$ ist die Multiplikation mit den beiden echten Teilern der $10$, also mit
\mathkor {} {2} {und} {5} {,}
besonders einfach, da hier die Überträge nicht fortgesetzt werden können. Um die $i$-te Ziffer des Produktes einer Zahl $m$ mit der $2$
\zusatzklammer {oder der $5$} {} {}
auszurechnen, muss man nur die $i$-te und die
\mathl{(i-1)}{-}te Ziffer der Zahl $m$ kennen.
\inputbemerkung
{}
{
Bei der Multiplikation mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vereinfacht sich das in
Verfahren 16.1
beschriebene Verfahren zur Multiplikation einer Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} { \sum_{i = 0}^k a_i \cdot 10^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einer einstelligen Zahl $b$. Gemäß diesem Verfahren sind die Berechnungen
\zusatzklammer {Division mit Rest} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i \cdot b + d_i
}
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 + c_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq} { c_i
}
{ \leq} {9
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durchzuführen, wobei dadurch die $c_i$ und die $d_i$ rekursiv mit dem Startwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegt sind und wobei die $c_i$ die Ziffern des Ergebnisses beschreiben. Wir behaupten, dass man in den beiden Fällen stattdessen nur
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i \cdot b
}
{ =} { d_{i+1} \cdot 10 +r_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
berechnen muss und die Ergebnisziffern
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_i
}
{ =} { d_i +r_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erhält. Insbesondere hängt $c_i$ nur von
\mathkor {} {a_i} {und} {a_{i-1}} {}
ab. Kurz gesagt: Die $i$-te Ziffer eines Produktes
\mathl{a_k \ldots a_i a_{i-1} \ldots a_2a_1a_0}{} mit $2$
\zusatzklammer {oder mit $5$} {} {}
ergibt sich, wenn man die zweistellige Zahl
\mathl{a_i a_{i-1}}{} mit $2$ bzw. mit $5$ multipliziert und von diesem Ergebnis die vordere Ziffer nimmt.
Zunächst sind nach
Lemma 16.3
bei der Multiplikation mit einer jeden einstelligen Zahl $b$ die Überträge echt kleiner als $b$. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommen also nur die Überträge
\mathkor {} {0} {oder} {1} {}
in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von
\mathkor {} {a_i \cdot 2 + d_i} {bzw.} {a_i \cdot 2} {}
durch $10$ überein
\zusatzklammer {wenn man zu einer geraden Zahl eine $1$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht} {} {,}
Die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{r_i +d_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt direkt.
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kommen nur die Überträge
\mathl{0,1,2,3,4}{} in Frage. Somit stimmen die ganzzahligen Anteile bei der Division mit Rest von
\mathkor {} {a_i \cdot 5 + d_i} {bzw.} {a_i \cdot 5} {}
durch $10$ überein
\zusatzklammer {wenn man zu einer durch $5$ teilbaren Zahl eine Zahl $\leq 4$ addiert, ändert sich die Zehnerziffer nicht} {} {.}
Die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{r_i +d_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt wieder direkt.
}
Als nächstes Hilfsmittel betrachten wir die extreme Situation, wo der rechte Faktor eine Zehnerpotenz ist. Das Dezimalsystem verhält sich bei einer solchen Multiplikation besonders einfach.
\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Zehnerpotenz als Faktor/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die Dezimaldarstellung eines Produktes aus einer im Dezimalsystem gegebenen natürlichen Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} {a_ka_{k-1} \ldots a_2a_1a_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und einer Zehnerpotenz $10^\ell$ erhält man, indem man an diese Ziffernfolge $\ell$ Nullen anhängt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m \cdot 10^\ell
}
{ =} { { \left( a_k10^k + \cdots + a_2 10^2 +a_1 10 +a_0 \right) } \cdot 10^\ell
}
{ =} { a_k 10^{k+\ell} + \cdots + a_2 10^{2+\ell} +a_1 10^{1 + \ell} +a_010^\ell
}
{ =} { a_k 10^{k+\ell} + \cdots + a_2 10^{2+\ell} +a_1 10^{1 + \ell} +a_010^\ell +0 \cdot 10^{\ell -1} + \cdots + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
woraus unmittelbar die Dezimaldarstellung des Produktes ablesbar ist.
\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Multiplizieren/Korrekt/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das schriftliche Multiplizieren im Zehnersystem ist korrekt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die beiden Zahlen seien
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{\ell}10^{\ell}} { . }
Beim schriftlichen Multiplizieren berechnet man unabhängig voneinander
\mathdisp {a_k \ldots a_2a_1a_0 \, \, \cdot \, \, b_j} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ = }{ 0,1 , \ldots , \ell
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und notiert das Ergebnis so, dass die Einerziffer unterhalb von $b_j$ steht. So entstehen
\mathl{\ell+1}{} Zahlen, die versetzt übereinander stehen. Diese Zahlen werden nach hinten mit Nullen aufgefüllt
\zusatzklammer {wobei man dies nur gedanklich machen muss} {} {.}
Die Summe dieser Zahlen im Sinne des schriftlichen Addierens ist das Endergebnis
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{m \cdot n
}
{ =} { m \cdot { \left( b_{\ell}10^{\ell} +b_{\ell -1} 10^{\ell -1} + \cdots +b_2 10^2 + b_1 10+ b_0 \right) }
}
{ =} { m \cdot b_\ell 10^{\ell} + m b_{\ell -1} \cdot 10^{\ell -1} + \cdots + m \cdot b_2 10^2 +m \cdot b_1 10+ m \cdot b_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach
Lemma 16.2
werden die
\mathl{m \cdot b_j}{} im schriftlichen Multiplizieren korrekt ausgerechnet. Dadurch, dass die Einzelergebnisse unterhalb von $b_j$ stehen und nach hinten mit Nullen aufgefüllt werden, stehen im Algorithmus wegen
Lemma 16.6
die Zahlen
\mathl{m \cdot b_j 10^{j}}{} korrekt übereinander, sodass das schriftliche Addieren nach
Satz 15.5
das korrekte Ergebnis liefert.
\zwischenueberschrift{Schriftliches Subtrahieren}
\inputverfahren{}
{
Beim schriftlichen Subtrahieren
\mathl{m-n}{} zweier natürlicher Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die im Dezimalsystem als
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n=b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{k}10^{k}} { }
gegeben sind, geht man folgendermaßen vor. Man berechnet die Dezimalziffern $c_i$ des Ergebnisses und die Überträge
\mathl{d_{i+1}}{}
\zusatzklammer {mit dem Startwert
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d_0
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
sukzessive durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_i
}
{ =} { \begin{cases} a_i - { \left( b_i +d_i \right) } \, , \text{ falls } a_i \geq b_i +d_i \, , \\ a_i +10 - { \left( b_i +d_i \right) } \, , \text{ falls } a_i < b_i +d_i \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d_{i+1}
}
{ =} { \begin{cases} 0\, , \text{ falls } a_i \geq b_i +d_i \, ,\\ 1 \, , \text{ falls } a_i < b_i +d_i \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Die Dezimaldarstellung der Differenz
\mathl{m-n}{} ist
\mathl{c_k \ldots c_2c_1c_0}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Zehnersystem/Schriftliches Subtrahieren/Korrektheit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Das schriftliche Subtrahieren von natürlichen Zahlen ist korrekt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathdisp {m= a_0+a_1 10+a_2 10^2 + \cdots + a_{k}10^{k} \text{ und } n= b_0+b_1 10+b_2 10^2 + \cdots + b_{k}10^{k}} { }
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ \geq} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir behaupten, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ -1,0,1 , \ldots , k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ausdruck
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ S_i
}
{ =} { a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} - d_{i+1}10^{i+1} + b_i 10^{i} + \cdots + b_1 10 + b_0 + c_i 10^{i} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
konstant gleich $m$ ist. Für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
fehlen die $b$-, die $c$- und die $d$-Ausdrücke, sodass dies richtig ist. Wir betrachten den Übergang von $S_{i-1}$ nach $S_i$, was dem $i$-ten Rechenschritt entspricht. Im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i
}
{ \geq} {b_i+d_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_{i+1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i-d_i
}
{ = }{b_i+c_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{S_{i -1}
}
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0 } {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} + (b_i+c_i) 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} - d_{i+1}10^{i+1} + b_i 10^{i} + \cdots + b_1 10 + b_0 } {c_i 10^{i} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {S_i
} {} }
}
{}{}{.}
Im Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i
}
{ <} {b_i+d_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d_{i+1}
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_i
}
{ = }{b_i+c_i+d_i-10
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{S_{i -1}
}
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i} 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1}+ { \left( b_i+c_i+d_i -10 \right) } 10^{i} - d_{i}10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} -10 \cdot 10^{i} + b_i 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0 + c_i 10^{i}} {+ c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
{ =} { \zeilemitteil {a_k 10^{k} + \cdots + a_{i+1} 10^{i+1} -d_{i+1} \cdot 10^{i+1} + b_i 10^{i} + b_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + b_1 10 + b_0 } {+ c_i 10^{i} + c_{i-1} 10^{i-1} + \cdots + c_1 10 + c_0} }
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \zeilemitteil {S_i
} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
{ } { \zeilemitteil {} {} }
}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die $a$- und die $d$-Ausdrücke vollständig abgebaut
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{d_{k+1}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und es bleiben die vollständigen $b$- und $c$-Ausdrücke übrig. Damit ist gezeigt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m
}
{ =} { b_k 10^{k} + \cdots + b_1 10 + b_0 + c_k 10^{k} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ =} {n +c_k 10^{k} + \cdots + c_1 10 + c_0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und somit ist
\mathl{c_k 10^{k} + \cdots + c_1 10 + c_0}{} gleich der Differenz
\mathl{m-n}{.}
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