Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Vorlesung 51/latex
\setcounter{section}{51}
\zwischenueberschrift{Stetige Funktionen}
Den Abstand zwischen zwei reellen Zahlen
\mathkor {} {x} {und} {x'} {}
bezeichnen wir mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,x')
}
{ \defeq} { \betrag { x-x' }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei einer Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Sei
\mathl{x \in \R}{} und
\mathl{y=f(x)}{} der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte $x'$, die \anfuehrung{nahe}{} an $x$ sind, auch die Bildpunkte
\mathl{f(x')}{} \anfuehrung{nahe}{} an
\mathl{f(x)}{} sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlicher Steigung zeigen, dass die \anfuehrung{Nähe}{} im Bildbereich nicht mit der \anfuehrung{Nähe}{} im Definitionsbereich direkt verglichen werden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr, dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.
Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein
\mathl{\epsilon > 0}{} vorgegeben. Dieses $\epsilon$ repräsentiert eine \anfuehrung{gewünschte Zielgenauigkeit}{.} Die Frage ist dann, ob man ein
\mathl{\delta >0}{} finden kann
\zusatzklammer {eine \anfuehrung{Startgenauigkeit}{}} {} {}
mit der Eigenschaft, dass für alle $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d { \left( x, x' \right) }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d { \left( f(x), f(x') \right) }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Funktion.
\inputdefinition
{
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Man sagt, dass $f$
\definitionswort {stetig}{}
im Punkt $x$ ist, wenn es zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x'
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x-x' }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)- f(x') }
}
{ \leq }{ \epsilon
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Man sagt, dass $f$
\definitionswort {stetig}{}
ist, wenn sie in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stetig ist.
}
Bei $D$ sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass $D$ ganz $\R$ ist, oder ein reelles Intervall, oder $\R$ ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den nichtnegativen reellen Zahlen \mathkor {} {\epsilon} {und} {\delta} {} kann man genauso gut mit Stammbrüchen \mathkor {} {{ \frac{ 1 }{ n } }} {und} {{ \frac{ 1 }{ m } }} {} arbeiten.
\inputbeispiel{}
{
Eine konstante Funktion
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {c
} {,}
ist
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ kann man hier ein beliebiges $\delta$ wählen, da ja ohnehin
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(f(x),f(x'))
}
{ =} { d(c,c)
}
{ =} { 0
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Eine
\definitionsverweis {lineare Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {cx
} {,}
mit einem Proportionalitätsfaktor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{c
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die Funktion konstant und somit auch stetig} {} {}
ist ebenfalls
\definitionsverweis {stetig}{}{.}
Zu jedem vorgegebenen $\epsilon$ kann man unabhängig vom Punkt $x$ hier
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ = }{ { \frac{ \epsilon }{ \betrag { c } } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wählen: Wenn nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x,x')
}
{ \leq} { \delta
}
{ =} { { \frac{ \epsilon }{ \betrag { c } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(f(x),f(x'))
}
{ =} { d(cx,cx')
}
{ =} { \betrag { c } d(x,x')
}
{ \leq} { \betrag { c } \cdot \delta
}
{ =} { \betrag { c } \cdot { \frac{ \epsilon }{ \betrag { c } } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir zeigen, dass das Quadrieren
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {x^2
} {,}
stetig ist. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert, wir zeigen die Stetigkeit im Punkt $a$. Es sei ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wir müssen ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
finden
\zusatzklammer {bzw. die Existenz eines solchen $\delta$ nachweisen} {} {,}
das die Eigenschaft besitzt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-a }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x^2-a^2 }
}
{ \leq} {\epsilon
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also wenn
\mathkor {} {x} {und} {a} {}
$\delta$-nahe sind, so sind die beiden Funktionswerte $\epsilon$-nahe. Es ist klar, dass die Wahl von $\delta$ nicht nur von $\epsilon$ abhängt, sondern auch von $a$. Wenn man nämlich zu $a$ eine Zahl $\delta$ hinzuaddiert, so ist der Funktionswert gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+ \delta)^2
}
{ =} {a^2 +2a \delta + \delta^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und die Differenz zu $a^2$ ist somit
\mathl{2a \delta + \delta^2}{.} Insbesondere muss der Betrag dieser Differenz kleinergleich dem vorgegebenen $\epsilon$ werden. Dies wird erreicht, wenn die beiden Summanden
\mathl{2a \delta}{} und
\mathl{\delta^2}{} beide kleinergleich
\mathl{\epsilon/2}{} sind. Von daher ist bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\epsilon
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Wahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( { \frac{ \epsilon }{ 4 a } } , { \frac{ \epsilon }{ 2 } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
naheliegend. Um alle Fälle zu erfassen, wählen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\delta
}
{ \defeq} { {\min { \left( { \frac{ \epsilon }{ 4 \betrag { a } } } , { \frac{ \epsilon }{ 2 } } \right) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei der vordere Term bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu ignorieren ist. Es gelten dann in der Tat für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { a-x }
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Abschätzungen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \betrag { x^2-a^2 }
}
{ =} { \betrag { x-a } \cdot \betrag { x+a }
}
{ \leq} { \delta { \left( 2 \betrag { a } + \delta \right) }
}
{ =} { 2 \betrag { a } \delta + \delta^2
}
{ \leq} { { \frac{ \epsilon }{ 2 } } + { \frac{ \epsilon }{ 2 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \epsilon
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
Das vorhergehende Beispiel zeigt schon, dass im Allgemeinen das Auffinden eines geeigneten $\delta$ zu einem gegebenen $\epsilon$ recht mühsam sein kann. Wir werden aber gleich wichtige Sätze kennenlernen, mit denen man die Stetigkeit einer Vielzahl an wichtigen Funktionen sofort erhält.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Heaviside.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Heaviside.svg } {} {Lenny222} {Commons} {PD} {}
\inputbeispiel{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Heaviside.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Heaviside.svg } {} {Lenny222} {Commons} {PD} {}
Wir betrachten die Funktion
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } x < 0 \, , \\ 1, \text{ falls } x \geq 0 \, . \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Diese Funktion ist im Nullpunkt $0$ nicht stetig. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jedes beliebige positive $\delta$ gibt es nämlich negative Zahlen $x'$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(0,x')
}
{ = }{ \betrag { x' }
}
{ \leq }{ \delta
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für diese ist aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(f(0),f(x'))
}
{ = }{ d(1,0)
}
{ = }{ 1
}
{ \not\leq }{ { \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {WeierstrassFunction.svg} }
\end{center}
\bildtext {Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig, aber nirgendwo differenzierbar ist. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen
\zusatzklammer {die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen} {} {}
kann man aber nicht kontrollieren.} }
\bildlizenz { WeierstrassFunction.svg } {} {Eeyore22} {Commons} {PD} {}
Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung.
\inputfaktbeweis
{Stetigkeit in einem Punkt/R/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Teilmenge,
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$f$ ist
\definitionsverweis {stetig}{}{}
im Punkt $x$.
} {Für jede
\definitionsverweis {konvergente Folge}{}{}
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} in $D$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} x_n
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch die
\definitionsverweis {Bildfolge}{}{}
\mathl{{ \left( f(x_n) \right) }_{ n \in \N }}{} konvergent mit dem Grenzwert
\mathl{f(x)}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (1) erfüllt und sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge in $D$, die gegen $x$ konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ =} { f(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dazu sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$ gibt es eine natürliche Zahl $n_0$ derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{ n_0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(x_n,x)
}
{ \leq} { \delta
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Nach der Wahl von $\delta$ ist dann
\mathdisp {d(f(x_n), f(x)) \leq \epsilon \text{ für alle } n \geq n_0} { , }
sodass die Bildfolge gegen
\mathl{f(x)}{} konvergiert.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (2) erfüllt. Wir nehmen an, dass $f$ nicht stetig ist. Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \epsilon
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass es für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, deren Abstand zu $x$ maximal gleich $\delta$ ist, deren Wert
\mathl{f(z)}{} unter der Abbildung aber zu
\mathl{f(x)}{} einen Abstand besitzt, der größer als $\epsilon$ ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche
\mathbed {\delta=1/n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.}
D.h. für jede natürliche Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_n
}
{ \in }{ D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {d(x_n ,x) \leq \frac{1}{n} \text{ und mit } d(f(x_n), f(x)) > \epsilon} { . }
Diese so konstruierte Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} konvergiert gegen $x$, aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen
\mathl{f(x)}{,} da der Abstand der Bildfolgenglieder zu
\mathl{f(x)}{} zumindest $\epsilon$ ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).}
{}
\inputfaktbeweis
{Reelle stetige Funktion/Approximationseigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Funktion $f$ ist durch ihre Werte auf $\Q$ eindeutig festgelegt.
}{Der Funktionswert
\mathl{f(a)}{} ist durch die Funktionswerte
\mathbed {f(x)} {}
{x \neq a} {}
{} {} {} {,}
festgelegt.
}{Wenn für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \leq} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, so gilt auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a)
}
{ \leq} {c
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\aufzaehlungdrei{Nach
Korollar 28.10
gibt es für jede reelle Zahl $x$ eine Folge $x_n$ von rationalen Zahlen
\zusatzklammer {sogar von Dezimalbrüchen} {} {,}
die gegen $x$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
Wegen der Stetigkeit und
Lemma 51.5
ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} {a - { \frac{ 1 }{ n } }
}
{ <} {a
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Folge der Stammbrüche eine Nullfolge ist, konvergiert diese Folge gegen $a$. Wegen der Stetigkeit und
Lemma 51.5
ist wieder
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} f(x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Dies folgt aus Teil (2) und
Lemma 44.14.
}
Die letzte Aussage gilt nicht, wenn man $\leq$ durch $<$ ersetzt.
\zwischenueberschrift{Rechenregeln für stetige Funktionen}
\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Stetig/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Teilmengen und
\maabbdisp {f} {D} {\R
} {}
und
\maabbdisp {g} {E} {\R
} {}
Funktionen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(D)
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn $f$ in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $g$ in
\mathl{f(x)}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
sind, so ist auch die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
\mathl{g \circ f}{} in $x$ stetig.
} {Wenn
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
stetig sind, so ist auch
\mathl{g \circ f}{} stetig.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).
\inputfaktbeweis
{Reelle Funktion/Stetigkeit/Addition, Multiplikation, Invertierung von Funktionen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \subseteq }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\maabbdisp {f,g} {D } { \R
} {}
\definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind auch die Funktionen
\maabbeledisp {f+g} { D} { \R
} {x} {f(x)+g(x)
} {,}
\maabbeledisp {f-g} {D} { \R
} {x} {f(x)-g(x)
} {,}
\maabbeledisp {f \cdot g} { D} { \R
} {x} {f(x) \cdot g(x)
} {,}
stetig. Für eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{D
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
auf der $g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion
\maabbeledisp {f/g} {U} {\R
} {x} {f(x)/g(x)
} {,}
stetig.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Lemma 44.11.
\inputfaktbeweis
{Polynomfunktion/R/Stetig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {\definitionsverweis {Polynomfunktionen}{}{}
\maabbeledisp {P} { \R } { \R
} {x} {P(x)
} {,}}
\faktfolgerung {sind
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Beispiel *****
und
Satz 51.8
sind für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Potenzen
\maabbeledisp {} { \R } { \R
} {x} {x^n
} {,}
stetig. Daher sind auch für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Funktionen
\maabbeledisp {} { \R } { \R
} {x} { ax^n
} {,}
stetig und wiederum aufgrund von
Satz 51.8
sind auch alle Funktionen
\maabbeledisp {} { \R } { \R
} {x} {a_nx^n +a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1x +a_0
} {,}
stetig.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {RationalDegree2byXedi.gif} }
\end{center}
\bildtext {Eine rationale Funktion ist auf ihrer Definitionsmenge stetig.} }
\bildlizenz { RationalDegree2byXedi.gif } {} {Sam Derbyshire} {en. Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Rationale Funktion/R/Stetig/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q
}
{ \in }{ \R [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq }{ { \left\{ x \in \R \mid Q(x) \neq 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {U} { \R
} {x} { { \frac{ P(x) }{ Q(x) } }
} {,}
\definitionsverweis {stetig}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Korollar 51.9 und Satz 51.8.
| << | Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II | >> |
|---|