Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 58

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Überprüfe das sogenannte Geburtstagsparadoxon anhand der anwesenden Personen. Das Geburtstagsparadoxon besagt, dass unter relativ wenig Leuten überraschend oft zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Bei ${}23$ Leuten beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür schon ${}50\%$, bei ${}50$ Personen sogar ${}97\%$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Menge ${}M=\{a,b,c,d\}$ sei mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$P(a)={\frac {1}{3}},\,P(b)={\frac {1}{4}},\,P(c)={\frac {1}{5}},\,P(d)={\frac {13}{60}}$

versehen. Es sei ${}B=\{a,c,d\}$ und ${}E=\{a,b,d\}$. Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit ${}P(E{|}B)$.

Aufgabe

Eine faire Münze wird elfmal geworfen. Es sei ${}B$ das Ereignis, dass bei den ersten zehn Würfen stets Kopf geworfen wird. Es sei ${}E_{i}$ das Ereignis, dass beim ${}i$-ten Wurf Kopf geworfen wird. Bestimme

$P(E_{i}{|}B)$

für ${}i=1,\ldots ,11$.

Aufgabe

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen drei Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, drei Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?

Aufgabe

Fredo verfolgt die Ziehung der Lottozahlen. Die bisher gezogenen fünf Zahlen kommen auf seinem Zettel vor, fünf Richtige hat er also schon mal sicher. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sechs Richtige hat?

Aufgabe

Fredo erfährt, dass er beim Lotto sechs Richtige hat. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahlen genau in der Reihenfolge gezogen wurden, wie er sie angekreuzt hatte?

Aufgabe

Es sei ${}M$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ${}x\in M$ ein Element mit einer positiven Wahrscheinlichkeit. Zeige

${}P(E{|}\{x\})={\begin{cases}1,\,{\text{ falls }}x\in E\,,\\0,\,{\text{ falls }}x\notin E\,.\end{cases}}\,$

Aufgabe

Es sei ${}B\subseteq M$ eine Teilmenge eines endlichen Wahrscheinlichkeitsraumes ${}M$ mit positiver Wahrscheinlichkeit. Es sei ${}E$ ein weiteres Ereignis und es gelte

${}P(E{|}B)\leq P(E)\,.$

Zeige, dass dann

${}P(E{|}M\setminus B)\geq P(E)\,$

gilt.

Aufgabe *

In einem Kurs nehmen ${}n$ Personen teil. Für die Person ${}i$ ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Klausur durchzufallen, gleich ${}q_{i}$. Es wird eine Klausur und eine Nachklausur geschrieben, wobei sich diese Wahrscheinlichkeiten nicht ändern.

1. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person in der ersten Klausur durchfällt, gleich ${}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ ist.
2. Die Nachklausur schreiben nur die Personen mit, die in der ersten Klausur durchgefallen sind. Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine aus diesem Personenkreis zufällig ausgewählte Person bei der zweiten Klausur ebenfalls durchfällt, gleich ${}{\frac {\sum _{i=1}^{n}q_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}q_{i}}}$ ist.
3. Zeige, dass die unter (2) berechnete Wahrscheinlichkeit größergleich der unter (1) berechneten Wahrscheinlichkeit ist.

Aufgabe *

Professor Knopfloch und Professor Zahnrad spielen gegeneinander Schach, wobei sie abwechselnd mit weiß oder mit schwarz spielen. Wenn Professor Knopfloch mit weiß spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {3}{4}}$, wenn er mit schwarz spielt, so gewinnt er mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {2}{3}}$, andernfalls gewinnt Professor Zahnrad. Heute hat Professor Zahnrad gewonnen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Professor Knopfloch heute mit weiß gespielt?

Aufgabe

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu ${}98\%$. Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu ${}99\%$. Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt ${}0,1\%$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, obwohl der Test ihn nicht erkannt hat?

Aufgabe

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu ${}95\%$. Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu ${}99,5\%$. Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt ${}0,05\%$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, wenn der Test ihn diagnostiziert?

Aufgabe *

Es sei ${}M$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien ${}A,B\subseteq M$ Ereignisse mit ${}P(A\cap B)\neq 0$ und mit ${}P(A),P(B)<1$. Zeige

${}{\frac {P(B{|}A)}{P(M\setminus B{|}A)}}={\frac {P(B)}{P(M\setminus B)}}\cdot {\frac {P(A{|}B)}{P(A{|}M\setminus B)}}\,.$

Aufgabe

Ein Aufschrei geht durch die sozialen Medien: An der Tanzhochschule „Parkettschwingungen“ haben sich ${}1000$ Frauen und ${}1000$ Männer für die beiden Fächer Ausdruckstanz und Choreographie beworben, dabei bekamen ${}760$ Frauen einen Studienplatz, aber nur ${}710$ Männer. Die Tanzbegabungen und die sonstigen Zeugnisse waren bei allen Bewerbern und Bewerberinnnen sehr gut. Ein klarer Fall: Diese Schule diskriminiert Männer!

Lässt sich dieser Vorwurf angesichts der folgenden Tabelle, die die genauere Information entlang der beiden einzelnen Fächer beinhaltet, aufrechterhalten?

	Bewerbungen Männer	Bewerbungen Frauen	Angenommene Männer	Angenommene Frauen	Annahmequote Männer	Annahmequote Frauen
Ausdruckstanz	${}900$	${}200$	${}630$	${}136$	${}70\%$	${}68\%$
Choreographie	${}100$	${}800$	${}80$	${}624$	${}80\%$	${}78\%$
Insgesamt	${}1000$	${}1000$	${}710$	${}760$	${}71\%$	${}76\%$

Aufgabe

Erläutere die Beobachtungen in Aufgabe 58.14 mit dem Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Die Menge ${}M=\{a,b,c,d,e,f\}$ sei mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

$P(a)={\frac {1}{5}},\,P(b)={\frac {1}{4}},\,P(c)={\frac {1}{10}},\,P(d)={\frac {9}{50}},\,P(e)={\frac {4}{25}},\,P(f)={\frac {11}{100}}$

versehen. Es sei ${}B=\{a,b,c,d\}$ und ${}E=\{a,d,f\}$. Bestimme die bedingte Wahrscheinlichkeit ${}P(E{|}B)$.

Aufgabe (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)

Es wird zufällig eine Zahl aus ${}\{1,2,3,\ldots ,n\}$ gezogen. Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass eine Primzahl gezogen wird, wenn man weiß, dass eine ungerade Zahl gezogen wurde?

1. Bei ${}n=2$.
2. Bei ${}n=4$.
3. Bei ${}n=10$.
4. Bei ${}n=20$.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}M$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und es seien ${}B_{1},B_{2},\ldots ,B_{n}$ Ereignisse, deren Gesamtdurchschnitt eine positive Wahrscheinlichkeit besitze. Zeige

${}{\begin{aligned}P(B_{1}\cap B_{2}\cap \ldots \cap B_{n})&=P(B_{1})\cdot P(B_{2}{|}B_{1})\cdot P(B_{3}{|}B_{1}\cap B_{2})\cdots P(B_{n}{|}B_{1}\cap B_{2}\cap \ldots \cap B_{n-1})\\\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

In der Bevölkerung ist ein Virus im Umlauf, und es gibt einen Test für den Virus, der allerdings nicht absolut sicher ist. Wenn jemand den Virus hat, so erkennt der Test dies zu ${}99,5\%$. Wenn jemand den Virus nicht hat, so erkennt der Test dies zu ${}99,9\%$. Die Wahrscheinlichkeit, den Virus zu haben, beträgt ${}0,01\%$. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person den Virus hat, wenn der Test ihn diagnostiziert?

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Ein gestaffelter Eignungstest ist in drei Runden aufgebaut, wobei man die vorhergehende Runde überstehen muss, um in die nächste Runde zu gelangen. Die erste Runde überstehen ${}10\%$, die zweite Runde überstehen ${}20\%$ und die dritte Runde überstehen ${}15\%$.

1. Beschreibe diese Daten mit dem Begriff der bedingten Wahrscheinlichkeit.
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Erstrundenteilnehmer alle drei Runden?
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Zweitrundenteilnehmer alle drei Runden?