Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 57

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ und Ereignisse ${}E,F_{1},F_{2}\subseteq M$ derart, dass ${}E$ zu ${}F_{1}$ und zu ${}F_{2}$ unabhängig ist, aber nicht zu ${}F_{1}\cap F_{2}$.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Die Lieblingseissorten von Lucy Sonnenschein sind Himbeereis, Heidelbeereis und Erdbeereis, die sie stets mit Wahrscheinlichkeit ${}{\frac {1}{3}}$ auswählt. Sie steht am Eisstand und wählt hintereinander und unabhängig voneinander drei Kugeln aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede ihrer Lieblingssorte in ihrem Becher vertreten ist.

Aufgabe

Es sei ${}(M,P)$ ein Laplace-Raum mit ${}n$ Elementen und seien ${}E,F\subseteq M$ Ereignisse.

1. Zeige, dass ${}E$ und ${}F$ genau dann unabhängig sind, wenn

   ${}n\cdot {\#\left(E\cap F\right)}={\#\left(E\right)}\cdot {\#\left(F\right)}\,$

   gilt.

2. Zeige durch ein Beispiel, dass nichtleere Ereignisse unabhängig sein können, ohne dass ihre Anzahlen Teiler von ${}n$ sind.
3. Es seien ${}r,s$ natürliche Zahlen mit ${}0\leq r,s\leq n$ und derart, dass ${}n$ ein Teiler von ${}rs$ ist. Zeige, dass es unabhängige Ereignisse in ${}M$ gibt, deren Anzahlen gleich ${}r$ bzw. ${}s$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}E,F\subseteq M$ Ereignisse in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}M$ mit positiven Wahrscheinlichkeiten und mit

${}E\cap F=\emptyset \,.$

Zeige, dass ${}E$ und ${}F$ nicht unabhängig sein können.

Aufgabe

Es seien ${}M=\{a,b,c\}$ und ${}N=\{r,s\}$ Laplace-Räume und ${}M\times N$ der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in ${}M\times N$ zueinander unabhängig sind.

$E=\{a,b\}\times \{r\},\,F=\{a,c\}\times N,\,G=\{(b,r)\},\,H=\{(b,r),(c,s)\},\,I=M\times \{r\},\,J=\{(b,r),(b,s)\}.$

Aufgabe *

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei zwei aufeinander folgenden Lottoziehungen die gleichen Zahlen gezogen werden?
2. Bauer Ernst spielt jede Woche Lotto. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zweimal hintereinander sechs Richtige hat?

Aufgabe

Es wird fünfmal eine faire Münze geworfen. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse und ob es sich um unabhängige Ereignisse handelt.

${}A={\text{der dritte Wurf ergibt Kopf}}\,,$

${}B={\text{es gibt insgesamt zumindest vier Kopfwürfe}}\,,$

${}C={\text{unter den ersten drei Würfen gibt es zumindest zwei Kopfwürfe}}\,,$

${}D={\text{der vierte Wurf ergibt Zahl}}\,,$

${}E={\text{der erste, der dritte und der fünfte Wurf haben das gleiche Ergebnis}}\,.$

Aufgabe

Es wird zwanzig Mal eine faire Münze geworfen. Bei den ersten zehn Würfen lautet das Ergebnis sechsmal Kopf, bei den zweiten zehn Würfen lautet das Ergebnis viermal Kopf. Sind diese Ereignisse unabhängig?

Aufgabe *

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander drei Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?

Aufgabe *

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie zum Schluss von ihrem Ausgangspunkt einen Abstand von zumindest ${}3$ besitzt?

Aufgabe *

Lucy Sonnenschein und ihre kleine Schwester Veronika befinden sich auf der Zahlengeraden im Punkt ${}0$. Beide führen unabhängig voneinander fünf Sprünge aus, wobei die Sprünge von Lucy mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwei Einheiten nach rechts oder nach links und die Sprünge von Veronika mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine Einheit nach links oder nach rechts gehen.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy sich zum Schluss in der Position ${}6$ befindet?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Veronika sich zum Schluss in einer Position befindet, die vom Nullpunkt den Abstand ${}5$ besitzt?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Lucy und Veronika sich zum Schluss in der gleichen Position befinden?

Aufgabe

Es sei ein Kreis mit sechs (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit ${}0,1,2,3,4,5$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess seien die Wahrscheinlichkeiten, stehen zu bleiben oder zu dem linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, konstant gleich ${}{\frac {1}{3}}$.

1. Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von ${}0$, zu den verschiedenen Positionen gelangt.
2. Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von ${}0$, zu den verschiedenen Positionen gelangt.
3. Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.

Aufgabe *

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\geq 50\,$

ist.

Aufgabe *

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ${}xy$ eine Quadratzahl ist.

Aufgabe

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ${}xy$ eine Primzahl ist.

Aufgabe

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Es sei ${}F_{i}$ das Ereignis, dass beim ersten Wurf ${}i$ geworfen wird, es sei ${}G_{j}$ das Ereignis, dass beim zweiten Wurf ${}j$ geworfen wird, und es sei ${}E$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist. Welche dieser Ereignisse sind unabhängig, welche nicht?

Aufgabe

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Es sei ${}E$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim zweiten Wurf um eins größer als beim ersten Wurf ist, und es sei ${}F$ das Ereignis, dass das Ergebnis beim dritten Wurf um eins größer als beim zweiten Wurf ist. Sind diese Ereignisse unabhängig?

Aufgabe *

Es seien ${}p_{1},\ldots ,p_{k}$ verschiedene Primzahlen und ${}n$ ihr Produkt. Wir betrachten den Wahrscheinlichkeitsraum ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ mit der Laplace-Dichte. Es sei ${}E_{i}$ das Ereignis, das eine Zahl aus ${}M$ ein Vielfaches von ${}p_{i}$ ist. Zeige, dass die ${}E_{i}$ vollständig unabhängig sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}G$ das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine gerade Zahl gezogen wird. Es sei ${}U$ das Ereignis, dass bei einer Lottoziehung mindestens eine ungerade Zahl gezogen wird. Sind diese Ereignisse unabhängig voneinander?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M=\{a,b,c,d\}$ und ${}N=\{x,y,z\}$ Laplace-Räume und ${}M\times N$ der Produktraum. Bestimme, welche der folgenden Ereignisse in ${}M\times N$ zueinander unabhängig sind.

$E=\{a,b,d\}\times \{y,z\},\,F=\{a,c\}\times N,\,G=\{(b,y)\},\,H=\{(b,y),(d,z)\},$

$I=M\times \{z\},\,J=\{(b,x),(b,y),(b,z)\},\,K=\{a\}\times N,\,L=M\times \{x,y\},$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum. Wir betrachten auf der Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ diejenige Relation ${}U$, bei der eine Teilmenge ${}A$ zu einer Teilmenge ${}B$ in Relation steht, wenn ${}A$ und ${}B$ stochastisch unabhängig sind.

1. ${}U$ ist reflexiv.
2. ${}U$ ist symmetrisch.
3. ${}U$ ist transitiv.

Aufgabe (5 Punkte)

Lucy Sonnenschein befindet sich im Punkt ${}(0,0)$. Sie führt hintereinander und unabhängig voneinander vier Sprünge aus, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit nach links, nach rechts, nach vorne oder nach hinten gehen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie sich zum Schluss wieder in ihrem Ausgangspunkt befindet?

Aufgabe (7 (2+2+3) Punkte)

Es sei ein Kreis mit acht (äquidistanten) Knoten gegeben, die mit ${}0,1,2,3,4,5,6,7$ bezeichnet seien. Bei einem Bewegungsprozess sei die Wahrscheinlichkeit, stehen zu bleiben, gleich ${}{\frac {1}{2}}$ und die Wahrscheinlichkeiten, zum linken oder rechten Nachbarn zu wechseln, gleich ${}{\frac {1}{4}}$.

1. Der Bewegungsprozess wird zweimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von ${}0$, zu den verschiedenen Positionen gelangt.
2. Der Bewegungsprozess wird dreimal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, mit denen man, ausgehend von ${}0$, zu den verschiedenen Positionen gelangt.
3. Der Bewegungsprozess wird viermal unabhängig voneinander durchgeführt. Bestimme die Wahrscheinlichkeiten, dass man danach wieder in der Ausgangsposition ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es werden unabhängig voneinander zwei Zahlen ${}x,y$ aus ${}\{1,2,\ldots ,10\}$ gezogen (mit Zurücklegen). Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass

${}xy\leq 32\,$

ist.