Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 10/latex
\setcounter{section}{10}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, warum der Ring
\mathdisp {\Z[X,Y,Z,W]/(XY-ZW, 5X^8-YZ^3+2WXY)} { }
\definitionsverweis {noethersch}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathdisp {{\mathfrak a}_1 \subseteq {\mathfrak a}_2 \subseteq {\mathfrak a}_3 \subseteq \ldots} { }
eine aufsteigende Kette von
\definitionsverweis {Idealen}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Vereinigung}{}{}
\mathl{\bigcup_{n \in \N} {\mathfrak a}_n}{} ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und sei
\mathdisp {K[X_n, \, n \in \N]} { }
der Polynomring über $K$ in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.
}
{} {}
Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an die Reduktion.
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $n_R$ das Nilideal von $R$, das aus allen \definitionsverweis {nilpotenten Elementen}{}{} von $R$ besteht. Dann nennt man den \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/n_R$ die \definitionswort {Reduktion}{} von $R$.
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen \definitionsverweis {Reduktion}{}{} ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $A$ eine kommutative $K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,} die als $K$-\definitionsverweis {Modul}{}{} \definitionsverweis {endlich}{}{} sei. Zeige, dass ein Element $f \in A$ genau dann eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} ist, wenn es ein \definitionsverweis {Nichtnullteiler}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $K$ und $L$ Körper, sei
\mathl{K \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei $A$,
\mathl{K \subseteq A \subseteq L}{,} ein Zwischenring. Zeige, dass dann $A$ ebenfalls ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Dann ist $M$ genau dann
\definitionsverweis {noethersch}{}{,}
wenn jede aufsteigende Kette
\mathdisp {M_0 \subseteq M_1 \subseteq M_2 \subseteq \ldots} { }
von
$R$-\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} stationär wird.
}
{} {}
Die folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des artinschen Moduls, der \anfuehrung{dual}{} zum Begriff des noetherschen Moduls ist.
Es sei $R$ ein kommutativer Ring. Ein $R$-Modul $M$ heißt \definitionswort {artinsch}{,} wenn jede
absteigende Kette
\mathdisp {M_1 \supseteq M_2 \supseteq M_3 \supseteq \ldots} { }
von $R$-Untermoduln stationär wird.
Ein kommutativer Ring $R$ heißt
\definitionswortenp{artinsch}{,} wenn er als $R$-Modul artinsch ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $A$ ein \definitionsverweis {artinscher}{}{} Integritätsbereich. Man zeige, dass $A$ ein Körper ist. Man gebe ein Beispiel eines artinschen kommutativen Ringes, der kein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $\mathfrak a$ ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} in einem kommutativen Ring. Zeige, dass $\mathfrak a$ der Durchschnitt von \definitionsverweis {Primidealen}{}{} ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{{\mathfrak a}}{} ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { R/{\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Ideale von $S$ eindeutig denjenigen Idealen von $R$ entsprechen, die ${\mathfrak a}$ umfassen.
}
{Zeige, dass das Gleiche für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale gilt.} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass $\mathbb Q$ keine \definitionsverweis {Algebra von endlichem Typ}{}{} über $\mathbb Z$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und sei
\mathl{A=K[X,Y]}{.} Finde eine
$K$-\definitionsverweis {Unteralgebra}{}{}
von $A$, die nicht endlich erzeugt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zum Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ I
}
{ =} { (10,6x^2+8,4x^3-12)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Z[x]$ die im Beweis zum
Hilbertschen Basissatz
konstruierte Idealkette und das zugehörige Erzeugendensystem von $I$. Schreibe die obigen Erzeuger als Linearkombination mit dem konstruierten Erzeugendensystem.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {noetherscher}{}{} \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.} Zeige, dass sich jedes Element aus $R$ als ein Produkt von \definitionsverweis {irreduziblen Elementen}{}{} schreiben lässt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $A$ ein kommutativer Ring und sei
\mathdisp {0 \longrightarrow M \longrightarrow N \longrightarrow P \longrightarrow 0} { }
eine
\definitionsverweis {kurze exakte Sequenz}{}{}
von $A$-Moduln. Man zeige, dass $N$ genau dann artinsch ist, wenn $M$ und $P$ artinsch sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Zeige: Wenn $M$
\definitionsverweis {artinsch}{}{} und
\mathl{\phi: M \to M}{} $R$-linear und injektiv ist, so ist $\phi$ ein Isomorphismus. Formuliere und beweise auch eine analoge Aussage für den Fall, das $M$ noethersch ist.
}
{} {}
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