Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 9/latex
\setcounter{section}{9}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe
\mathdisp {K[X,Y,Z]/(XY-Z^n)} { }
als
\definitionsverweis {Monoidring}{}{}
und als
\definitionsverweis {neutrale Stufe}{}{}
eines
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{}
in einer geeigneten
\definitionsverweis {Graduierung}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Monoid}{}{} und den
\definitionsverweis {Monoidring}{}{,}
das durch den
\definitionsverweis {Kegel}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} { { \left\{ av+bw \mid a,b \in \R_{\geq 0} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w
}
{ = }{\begin{pmatrix} 2 \\5 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bestimmt ist. Finde eine
\definitionsverweis {Graduierung}{}{}
auf
\mathl{K[X,Y]}{} derart, dass der Monoidring der
\definitionsverweis {Ring der neutralen Stufe}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{M \subseteq \Gamma =\Z^n}{} ein
\definitionsverweis {normales}{}{,}
\definitionsverweis {spitzes}{}{} \definitionsverweis {Monoid}{}{,}
wobei $\Gamma$ das
\definitionsverweis {Differenzengitter}{}{}
zu $M$ sei. Es sei
\mathl{C= \R_{\geq} M \subseteq \R^n}{} der zugehörige
\definitionsverweis {rationale Kegel}{}{.}
Zeige, dass bei
\mathl{n=2}{} dieser Kegel durch zwei Halbräume
\zusatzklammer {bzw. Linearformen} {} {}
beschreibbar ist, und dass bei
\mathl{n=3}{} jede Anzahl an Halbräumen
\mathl{r \geq n}{} auftreten kann.
}
{} {}
Die beiden nächsten Aufgaben machen zwei Extremfälle von
Satz 9.5 (4)
explizit.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{d_1 , \ldots , d_r}{} seien ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \mu_{ \ell } { \left( K \right) } } { \operatorname{GL}_{ r } \! { \left( K \right) }
} {t} { \begin{pmatrix} t^{d_1} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & t^{d_2} & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & t^{d_{r-1} } & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & t^{d_r} \end{pmatrix}
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{\ell_1 , \ldots , \ell_a}{} natürliche Zahlen und
\mathl{d_1 , \ldots , d_{a+b}}{} ganze Zahlen. Zeige, dass die Zuordnung
\maabbeledisp {} { \mu_{ \ell_1 } { \left( K \right) } \times \cdots \times \mu_{ \ell_a } { \left( K \right) } \times { \left( K^{\times} \right) }^b } { \operatorname{GL}_{ 1 } \! { \left( K \right) } \cong K^{\times}
} {(t_1 , \ldots , t_{a+b} )} { t_1^{d_1} \cdots t_{a+b}^{d_{a+b} }
} {,}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zur durch einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\delta} {\Z^2} { \Z/(3)
} {} bestimmten
$\Z/(3)$-\definitionsverweis {Graduierung}{}{} auf
\mathl{K[U,V]}{} den Ring der neutralen Stufe in Abhängigkeit von $\delta$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine
$\Z$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{,}
auf der eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
$G$ als Gruppe von
\definitionsverweis {homogenen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( A^{(s)} \right) }^G
}
{ =} { { \left( A^G \right) }^{(s)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{K[U,V]^{(s)}}{} als
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
durch
\mathl{s+1}{} Elemente
\mathl{Z_0,Z_1 , \ldots , Z_s}{} erzeugt wird derart, dass sämtliche
$2\times 2$-\definitionsverweis {Minoren}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z_0 & Z_1 & \ldots & Z_{ s-2} & Z_{ s-1} \\ Z_1 & Z_2 & \ldots & Z_{ s-1} & Z_s \end{pmatrix}} { }
Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{A= \bigoplus_{d \in D} A_d}{} ein
\definitionsverweis {graduierter}{}{} \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und es sei
\mathl{A_e}{} eine
\definitionsverweis {Stufe}{}{,} die eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{} enthalte. Zeige, dass $A_e$ als
$A_0$-\definitionsverweis {Modul}{}{} isomorph zu $A_0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel eines
\definitionsverweis {Untermonoids}{}{}
\mathl{M\subseteq \N^2}{,} das nicht
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$. Bestimme in der Situation von Aufgabe 9.5 den \definitionsverweis {Invariantenring}{}{} der \definitionsverweis {zugehörigen Operation}{}{} auf dem Polynomring.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die minimale Anzahl eines
\definitionsverweis {Erzeugendensystems}{}{} für den
\definitionsverweis {Veronese-Ring}{}{}
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^{(s)}}{.}
}
{} {}
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