Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 16/latex
\setcounter{section}{16}
In dieser Vorlesung führen wir eine wichtige Konstruktion für Moduln ein, das sogenannte \stichwort {Tensorprodukt} {.} Die Eigenschaften des konstruierten Objektes sind dabei wichtiger als die Konstruktion selbst.
\zwischenueberschrift{Das Tensorprodukt von Moduln}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} { V_1 \times \cdots \times V_n } {W
} {}
heißt
\definitionswortpraemath {R}{ multilinear }{,}
wenn für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} und jedes $(n-1)$-Tupel
\mathl{(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{v_j \in V_j}{}} {} {}
die induzierte Abbildung
\maabbeledisp {} { V_i} {W
} {u} { \psi { \left( v_1 , \ldots , v_{i-1} , u, v_{i+1} , \ldots , v_n \right) }
} {,}
$R$-\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}
Bei
\mathl{n=2}{} spricht man von \stichwort {bilinear} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W}{} seien
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es sei $F$ der von sämtlichen Symbolen
\mathl{v_1 \otimes v_2 \otimes \cdots \otimes v_n}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{v_i \in V_i}{}} {} {}
erzeugte
\definitionsverweis {freie}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Es sei
\mathl{U \subseteq F}{} der von allen Elementen der Form
\aufzaehlungzwei {
\mathl{r { \left( v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes v_i \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n \right) } - v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes rv_i \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n}{,}
} {
\mathl{v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes (u+w) \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n
- v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes u \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n
- v_1 \otimes \cdots \otimes v_{i-1} \otimes w \otimes v_{i+1} \otimes \cdots \otimes v_n}{,}
}
erzeugte
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{.}
Dann nennt man den
\definitionsverweis {Restklassenmodul}{}{}
\mathl{F/U}{} das \stichwort {Tensorprodukt} {} der
\mathbed {V_i} {}
{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }} {}
{} {} {} {.}
Es wird mit
\mathdisp {V_1 \otimes_{ R } V_2 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n} { }
bezeichnet.
}
Die Bilder von
\mathl{(v_1 , \ldots , v_n)}{} in
\mathl{V_1 \otimes_R V_2 \otimes_R \cdots \otimes_R V_n}{} bezeichnet man wieder mit
\mathl{v_1 \otimes \cdots \otimes v_n}{.} Jedes Element aus
\mathl{V_1 \otimes_R \cdots \otimes_R V_n}{} besitzt eine
\zusatzklammer {nicht eindeutige} {} {} Darstellung als
\mathdisp {a_1 v_{1,1} \otimes \cdots \otimes v_{1,n} + \cdots + a_m v_{m,1} \otimes \cdots \otimes v_{m,n}} { }
\zusatzklammer {mit \mathlk{a_i \in R}{} und \mathlk{v_{i,j} \in V_j}{}} {} {.} Insbesondere bilden die
\zusatzklammer {\stichwort {zerlegbaren Tensoren} {}} {} {}
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein
$R$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{}
des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{i-1} \otimes rv_i \otimes v_{i+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n
}
{ =} {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{j-1} \otimes rv_j \otimes v_{j+1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für beliebige
\mathl{i,j}{.}
Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende \stichwort {universelle Eigenschaft} {.}
\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Moduln/Universelle Eigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} seien
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\pi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n
} { { \left( v_1 , \ldots , v_n \right) } } {v_1 \otimes \cdots \otimes v_n
} {,}
ist
$R$-\definitionsverweis {multilinear}{}{.}
} {Es sei $W$ ein weiterer
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{} und
\maabbdisp {\psi} {V_1 \times \cdots \times V_n } {W
} {}
eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
$R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\bar{\psi}} {V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n } {W
} {}
mit
\mathl{\psi = \bar{\psi} \circ \pi}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) folgt unmittelbar aus der Definition des
\definitionsverweis {Tensorprodukts}{}{.}
(2). Da die
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} ein
$R$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n}{} sind und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \bar{\psi}(v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n)
}
{ =} { \psi (v_1 , \ldots , v_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den
\definitionsverweis {freien Modul}{}{}
$F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole
\mathl{v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $F$, daher legt die Vorschrift
\mathl{\varphi { \left( v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n \right) } \defeq \psi( v_1 , \ldots , v_n)}{} eine lineare Abbildung
\maabbdisp {} {F} {W
} {}
fest. Wegen der
\definitionsverweis {Multilinearität}{}{}
von $\psi$ wird der Untermodul $U$ auf $0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {F/U \cong V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n} {W
} {.}
Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf
\zusatzklammer {eindeutige} {} {} Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen $R$-Modul $T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung
\maabb {} {V_1 \times \cdots \times V_n} {T
} {}
derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen $R$-Modul $W$ eindeutig über $T$ mit einer linearer Abbildung von $T$ nach $W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen $T$ und dem Tensorprodukt
\mathl{V_1 \otimes_{ R } \cdots \otimes_{ R } V_n}{.} Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.
{Moduln/Tensorprodukt/Grundlegende Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } V
}
{ \cong} {V \otimes_{ R } U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } { \left( V \otimes_{ R } W \right) }
}
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ R } V \right) } \otimes_{ R } W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ R } { \left( V \oplus W \right) }
}
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ R } V \right) } \oplus { \left( U \otimes_{ R } W \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.2. }
\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Funktorialität im Modul/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und seien
\mathl{U,V,W,M}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {U} {V
} {}
gibt es einen natürlichen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi \otimes_{ R }
\operatorname{Id}_{ M }} {U \otimes_{ R } M} {V \otimes_{ R } M
} {.}
} {Zu einer
\definitionsverweis {exakten Sequenz}{}{}
\mathdisp {U \longrightarrow V \longrightarrow W \longrightarrow 0} { }
von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{}
ist auch
\mathdisp {U\otimes_{ R } M \longrightarrow V \otimes_{ R } M \longrightarrow W \otimes_{ R } M \longrightarrow 0} { }
exakt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1). Die Abbildung
\maabbeledisp {} {U \times M} { V \otimes_{ R } M
} {(u,m)} { \varphi(u) \otimes m
} {,}
ist
$R$-\definitionsverweis {bilinear}{}{}
und induziert daher einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {U \otimes_{ R } M } {V \otimes_{ R } M
} {.}
(2). Die Surjektivität der Abbildung
\maabbdisp {} {V \otimes_{ R } M } {W \otimes_{ R } M
} {}
ist klar, da die
\mathl{w \otimes m}{} ein
$R$-\definitionsverweis {Modulerzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{W \otimes_{ R } N}{} bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V \otimes_{ R } M / \operatorname{bild} { \left( U \otimes_{ R } M \right) }
}
{ \cong} { W \otimes_{ R } M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also
\maabbdisp {} {W \times M} {N
} {}
eine
$R$-\definitionsverweis {multilineare Abbildung}{}{}
in einen $R$-Modul $N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung
\maabbdisp {\psi} {V \times M} {N
} {}
und damit eine $R$-lineare Abbildung
\maabbdisp {\tilde{\psi}} { V \otimes_{ R } M} { N
} {}
vor. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi ( \operatorname{bild} U \times M)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tilde{\psi} { \left( \operatorname{bild} U \otimes_{ R } M \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung
\maabbdisp {} { V \otimes_{ R } M / \operatorname{bild} { \left( U \otimes_{ R } M \right) } } {N
} {.}
\zwischenueberschrift{Ringwechsel}
Wir betrachten jetzt den Fall des Tensorproduktes, wenn über $R$ ein $R$-Modul $M$ und eine kommutative $R$-Algebra $R'$ vorliegt.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ und einem
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {R} {R'
} {} zwischen \definitionsverweis {kommutativen Ringen}{}{} nennt man
\mathl{R' \otimes_{ R } M}{} den \definitionswort {durch Ringwechsel gewonnenen}{} \definitionswortpraemath {R'}{ Modul }{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Tensorierung}{}{}
mit der
$\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
${\mathbb C}$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_{\mathbb C}
}
{ \defeq} { {\mathbb C} \otimes_{ \R } V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
nennt man die \stichwort {Komplexifizierung} {} von $V$. Wenn $V$ die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ besitzt, so besitzt $V_{\mathbb C}$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension $n$. Wenn man $V_{\mathbb C}$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die
\definitionsverweis {reelle}{}{}
Dimension $2n$.
}
\inputfaktbeweis
{Modul/Ringwechsel/Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\maabb {} {R} {R'
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{R' \otimes_{ R } M}{} ist ein $R'$-Modul.
}{Es gibt einen kanonischen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {M} { R' \otimes_{ R } M
} {v} { 1 \otimes v
} {.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{R'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}
}{Zu einem
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {M} {N
} {}
ist die induzierte Abbildung
\maabbdisp {\operatorname{Id}_{ R' } \otimes \varphi} {R' \otimes_{ R } M } {R' \otimes_{ R } N
} {}
ein $R'$-Modulhomomorphismus.
}{Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R' \otimes_{ R } R^n
}
{ \cong} { { \left( R' \right) }^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Zu einem weiteren Ringhomomorphismus
\maabb {} {R'} {R^{\prime \prime}
} {}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M
}
{ \cong} { R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R^{\prime } \otimes_{ R } M \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {eine Isomorphie von \mathlk{R^{\prime \prime}}{-}Moduln} {} {.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Die Multiplikation
\maabbeledisp {} {R' \times R'} {R'
} {(r,s)} {rs
} {,}
ist
$R'$-\definitionsverweis {bilinear}{}{}
und führt nach
Lemma 16.3
zu einer
$R'$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {R' \otimes_{ R } R'} {R'
} {.}
Dies induziert nach
Proposition 16.4 (2)
und nach
Proposition 16.5
einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { R' \otimes_{ R } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } \cong { \left( R' \otimes_{ R } R' \right) } \otimes_{ R } M } { R' \otimes_{ R } M
} {.}
Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation
\maabbdisp {} {R' \times { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } { { \left( R' \otimes_{ R } M \right) }
} {,}
die explizit durch\zusatzfussnote {Wenn man die Skalarmultiplikation direkt über diese Formel definieren möchte hat man das Problem der Wohldefiniertheit} {.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n r_j \otimes m_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( sr_j \right) } \otimes m_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Ska\-larmultiplikation.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Die $R$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei
\mathl{R'=R}{} ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation
\maabb {} {R \times M} {M
} {}
induziert eine
$R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} {R \otimes_{ R } M} { M
} {.}
Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung
\maabb {} {M} {R \otimes_{ R } M
} {}
mit dieser Abbildung ist die Identität auf $M$, sodass die erste Abbildung auch injektiv ist.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4) folgt aus
Proposition 16.4 (3).}
{}\teilbeweis {}{}{}
{(5). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $R$-lineare Abbildung
\maabb {} { M} { R' \otimes_{ R } M
} {.}
Dies führt zu einer $R$-multilinearen Abbildung
\mathdisp {R^{\prime \prime} \times M \longrightarrow R^{\prime \prime} \times { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } \longrightarrow R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) }} { , }
die eine $R$-lineare Abbildung
\maabbdisp {} {R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) }
} {}
induziert. Andererseits haben wir eine $R'$-lineare Abbildung
\maabbdisp {} {R' \otimes_{ R } M } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M
} {.}
Rechts steht ein
\mathl{R^{\prime \prime}}{-}Modul, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $R'$-multilineare Abbildung
\maabbdisp {} {R^{\prime \prime} \times { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M
} {}
auffassen, die ihrerseits zu einer $R'$-linearen Abbildung
\maabbdisp {} {R^{\prime \prime} \otimes_{ R' } { \left( R' \otimes_{ R } M \right) } } { R^{\prime \prime} \otimes_{ R } M
} {}
führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die
\mathl{R^{\prime \prime}}{-}Multiplikationen entsprechen.}
{}
{Tensorprodukt/Moduln/Nenneraufnahme/Ideal/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Zu einem
\definitionsverweis {multiplikativen System}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M_S
}
{ \cong }{R_S \otimes_{ R } M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
} {Zu einem
\definitionsverweis {Ideal}{}{} $I \subseteq R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M/IM
}
{ \cong }{ R/I \otimes_{ R } M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 16.4. }
\inputbeispiel{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
\mathl{Q(R)}{} und einem
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
$M$ erhält man im
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{Q(R) \otimes_{ R } M}{} einen Modul über dem Quotientenkörper $Q(R)$, also einen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Dieser Vektorraum trägt häufig schon wesentliche Informationen über den Modul. Seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
nennt man auch den \stichwort {Rang} {} des Moduls.
}
\inputbeispiel{}
{
Zu jeder
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
$H$ und jedem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ enthält man im
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{R \otimes_{ \Z } H}{} einen
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Wenn $H$
\definitionsverweis {endlich erzeugt}{}{}
und die Zerlegung
\zusatzklammer {vergleiche den
Hauptsatz über endlich erzeugte kommutative Gruppen} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ \cong} {\Z^r \times \Z/(n_1) \times \cdots \times \Z/(n_s)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vorliegt, so ist der tensorierte Modul die direkte Summe aus
\mathl{R^r}{} und den
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ R \otimes_{ \Z } \Z/(n_j)
}
{ \cong} { R/(n_jR)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei deren Gestalt von der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
des Ringes abhängt.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{,}
und es sei $R^G$ der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{.}
Dann gehört zu jedem $R^G$-Modul $M$ das
\definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{R \otimes_{ R^G } M}{.} Auf diesem $R$-Modul operiert die Gruppe $G$ in natürlicher und mit der Operation auf $R$
\definitionsverweis {verträglichen}{}{}
Weise, siehe
Aufgabe 16.10.
}
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