Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 17

Tensorprodukt von Ringen

Wir betrachten jetzt die Situation, in der zwei kommutative ${}R$-Algebren vorliegen.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B$ seien kommutative ${}R$- Algebren.

Dann ist das Tensorprodukt

$A\otimes _{R}B$

eine kommutative ${}R$-Algebra und es gibt ${}R$- Algebrahomomorphismen

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$

und

$B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b.$

Beweis

Die Multiplikationen auf ${}A$ bzw. auf ${}B$ führen zu ${}R$- linearen Abbildungen ${}\mu _{A}\colon A\otimes _{R}A\rightarrow A$ und ${}\mu _{B}\colon B\otimes _{R}B\rightarrow B$. Dies ergibt eine ${}R$- bilineare Abbildung

${\left(A\otimes _{R}A\right)}\times {\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$

und damit zu einer ${}R$-linearen Abbildung

$\mu \colon {\left(A\otimes _{R}A\right)}\otimes _{R}{\left(B\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B.$

Aufgrund der Kommutativität des Tensorprodukts können wir dies als eine ${}R$-lineare Abbildung

$\mu \colon {\left(A\otimes _{R}B\right)}\otimes _{R}{\left(A\otimes _{R}B\right)}\longrightarrow A\otimes _{R}B$

auffassen, wodurch eine Multiplikation auf ${}A\otimes _{R}B$ definiert wird. Diese Multiplikation wird auf den zerlegbaren Tensoren explizit durch

${}{\left(a_{1}\otimes b_{1}\right)}\cdot {\left(a_{2}\otimes b_{2}\right)}=a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2}\,$

und allgemein durch

${}{\left(\sum _{i=1}^{m}a_{i}\otimes b_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}c_{j}\otimes d_{j}\right)}=\sum _{i,j}a_{i}c_{j}\otimes b_{i}b_{j}\,$

gegeben. Die bisherige Überlegung sichert, dass dies wohldefiniert ist. Der Nachweis, dass durch diese Multiplikation das Tensorprodukt zu einem kommutativen Ring wird, erfolgt über diese explizite Beschreibung, wobei man sich auf die zerlegbaren Elementen beschränken kann. Dass Ringhomomorphismen vorliegen ergibt sich ebenfalls aus der expliziten Beschreibung.

$\Box$

Beispiel

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ und den Polynomringen ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]$ und ${}B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ ist

${}A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\,.$

Die Vorgabe ${}X_{i}\mapsto X_{i}\otimes 1$ und ${}Y_{j}\mapsto 1\otimes Y_{j}$ definiert den Einsetzungshomomorphismus

$R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\longrightarrow A\otimes _{R}B.$

Die Zuordnung

$A\times B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}],\,(a,b)\longmapsto a\cdot b,$

ist ${}R$- bilinear und definiert nach Lemma 16.3  (2) einen ${}R$- Modulhomomorphismus

$A\otimes _{R}B\longrightarrow R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}].$

Beide Abbildungen sind invers zueinander.

Beispiel

Zu einem kommutativen Ring ${}R$ und endlich erzeugten ${}R$- Algebren ${}A=R[X_{1},\ldots ,X_{m}]/{\mathfrak {a}}$ und ${}B=R[Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/{\mathfrak {b}}$ ist

${}A\otimes _{R}B=R[X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]/({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}})\,.$

Dies wird ähnlich wie die Isomorphie in Beispiel 17.2 begründet.

Beispiel

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

die zugehörige

Spektrumsabbildung. Zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ ist die Faser zu ${}\varphi ^{*}$ über ${}{\mathfrak {p}}$ gleich ${}\operatorname {Spek} {\left(\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S\right)}$. Dies folgt aus

${}\kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}S=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}\otimes _{R}S\cong {\left(S/{\mathfrak {p}}\right)}_{\varphi (R\setminus {\mathfrak {p}})}\,$

(nach Proposition 16.9) und der Beschreibung der Faser in Lemma 14.3.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B,S$ seien kommutative ${}R$- Algebren.

Dann ist

$\operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A\otimes _{R}B,S\right)}=\operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}\,.$

Beweis

Über die natürlichen ${}R$- Algebrahomomorphismen (siehe Lemma 17.1)

$A\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,a\longmapsto a\otimes 1,$

und

$B\longrightarrow A\otimes _{R}B,\,b\longmapsto 1\otimes b,$

erhält man eine Abbildung von links nach rechts. Da die ${}a\otimes 1$ und ${}1\otimes b$ ein ${}R$-

Algebraerzeugendensystem von ${}A\otimes _{R}B$ bilden, ist darauf ein ${}R$-Algebrahomomorphismus nach ${}S$ festgelegt. Es kann also zu

$(\varphi ,\psi )\in \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(A,S\right)}\times \operatorname {Hom} _{R}^{\rm {alg}}\,{\left(B,S\right)}$

maximal einen Homomorphismus links geben, der darauf abbildet. Die Abbildung ist also injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}(\varphi ,\psi )$ gegeben. Wir betrachten die Abbildung

$A\times B\longrightarrow S,\,(a,b)\longmapsto \varphi (a)\psi (b).$

Diese Abbildung ist offenbar ${}R$- bilinear, daher gibt es dazu nach Lemma 16.3 einen ${}R$- Modulhomomorphismus

$\theta \colon A\otimes _{R}B\longrightarrow S.$

Dieser ist wegen

${}{\begin{aligned}\theta (a_{1}\otimes b_{1}\cdot a_{2}\otimes b_{2})&=\theta (a_{1}a_{2}\otimes b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1}a_{2})\cdot \psi (b_{1}b_{2})\\&=\varphi (a_{1})\varphi (a_{2})\psi (b_{1})\psi (b_{2})\\&=\theta (a_{1}\otimes b_{1})\cdot \theta (a_{2}\otimes b_{2})\end{aligned}}$

auch mit der Multiplikation verträglich.

$\Box$

Bei ${}Z=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$, ${}X=\operatorname {Spek} {\left(A\right)}$ und ${}Y=\operatorname {Spek} {\left(B\right)}$ schreibt man auch

${}X\times _{Z}Y=\operatorname {Spek} {\left(A\otimes _{R}B\right)}\,$

(manchmal auch $X\times _{R}Y$) und nennt dies das Produkt der affinen Schemata ${}X$ und ${}Y$ (über ${}Z$). Der obige Satz übersetzt sich zur folgenden universellen Eigenschaft dieses Produkts: Zu einem affinen Schemamorphismus (also einer Spektrumsabbildung)

$\psi \colon T=\operatorname {Spek} {\left(C\right)}\longrightarrow Z=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

und zwei Morphismen ${}\varphi _{1}\colon T\rightarrow X$ und ${}\varphi _{2}\colon T\rightarrow Y$ über ${}\psi$ gibt es einen eindeutigen Morphismus

$\varphi \colon T\longrightarrow X\times _{Z}Y,$

der mit allen vorgegebenen Morphismen kommutiert. Wenn ${}Z=\operatorname {Spek} {\left(K\right)}$ das Spektrum eines Körpers ist, so bedeutet dies für die ${}K$-wertigen Punkte insbesondere

${}{\left(X\times _{Z}Y\right)}(K)=X(K)\times Y(K)\,.$

Hopf-Algebren und affine Gruppenschemata

Wir haben zu einer Operation einer Gruppe ${}G$ auf einem kommutativen Ring ${}R$ eine geometrische Interpretation gefunden, nämlich die Operation der Gruppe auf dem Spektrum von ${}R$. Der Ring bildet zusammen mit seinem Spektrum eine algebraisch-geometrische Einheit, und die Gruppenwirkung hat algebraische und geometrische Eigenschaften, die eng miteinander verflochten sind. Die Gruppenoperation können wir als einen Gruppenhomomorphismus in die Automorphismengruppe des Ringes oder des affinen Schemas auffassen. Wir haben aber bisher noch keine Sprache dafür, ob die Operation als Ganzes algebraisch-geometrisch ist, und wir haben noch nicht geklärt, ob wir die operierende Gruppe eher als ein algebraisches oder als ein geometrisches Objekt ansehen wollen.

Zum ersten Problemkreis betrachten wir einerseits die multiplikative Gruppe ${}{\left(K^{\times },1,\cdot \right)}$ und andererseits die additive Gruppe ${}{\left(K,0,+\right)}$ zu einem Körper ${}K$. Die typischen Operationen dieser beiden Gruppen haben ziemlich verschiedene Eigenschaften. Die multiplikativen Operationen sind „diagonalisierbar“ und eng mit den Graduierungen (siehe Satz 7.10) verbunden, die Invariantenringe sind daher recht einfach zu berechnen und sind insbesondere direkte Summanden. Letzteres muss für die additive Gruppe nicht gelten, wie Beispiel 6.9 (vergleiche auch Beispiel 15.9) zeigt. Dieser Unterschied ist aber bisher lediglich eine Beobachtung, da wir nur einige Beispiele von Operationen dieser Gruppen betrachtet, aber noch nicht fixiert haben, auf welche Art diese Gruppen operieren sollen.

Beispiel

Die Exponentialfunktion ist bekanntlich ein Gruppenisomorphismus

$(\mathbb {R} ,0,+)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},1,\cdot )\subset \mathbb {R} ^{\times },\,t\longmapsto e^{t},$

mit dem natürlichen Logarithmus als Umkehrfunktion. Daher kann man jede Gruppenoperation der additiven Gruppe ${}\mathbb {R}$ auf einer beliebigen Menge auch als eine Operation der positiven multiplikativen Gruppe ${}\mathbb {R} _{+}$ ansehen und umgekehrt. Sämtliche operationstheoretischen Konzepte wie Bahn, Isotropiegruppe, Invariantenring stimmen dabei überein. Beispielsweise kann man die skalare Multiplikation von ${}\mathbb {R} ^{\times }$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ als die Operation

$(\mathbb {R} ,0,+)\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,(t,x_{1},\ldots ,x_{n})\longmapsto (e^{t}x_{1},\ldots ,e^{t}x_{n}),$

auffassen. Diese Operation kann man nur unter Verwendung einer transzendenten Funktion hinschreiben. Wenn man nur „algebraische Operationen“ zulassen möchte, so sind die multiplikative und die additive Gruppe nicht isomorph, und sie besitzen sehr unterschiedliche Operationen.

Die Gruppenaxiome kann man durch die folgenden kommutativen Diagramme ausdrücken. Dabei sei ${}G$ die Gruppe, ${}\mu$ die Multiplikation, ${}e$ das neutrale Element und ${}\operatorname {inv}$ die Inversenabbildung.

${\begin{matrix}G\times G\times G&{\stackrel {\mu \times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times G&\\\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\times \mu \downarrow &&\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\G\times G&{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {Id} \times e}{\longrightarrow }}&G\times G&\\&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Id} _{G}\searrow &\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\&&G&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}G&{\stackrel {\operatorname {inv} \times \operatorname {Id} _{G}}{\longrightarrow }}&G\times G&\\\downarrow &&\downarrow \mu \!\!\!\!\!&\\\{e\}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

Die duale Formulierung dieser Diagramme führt zum Begriff der Hopf-Algebra.

Definition

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Eine kommutative ${}K$- Algebra ${}H$ heißt Hopf-Algebra, wenn es fixierte ${}K$- Algebrahomomorphismen (genannt Komultiplikation, Koeinheit und Koinverses)

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H,$

$\epsilon \colon H\longrightarrow K$

und

$S\colon H\longrightarrow H$

gibt, derart, dass die Diagramme

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\!\!\Delta \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\otimes \Delta \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\H\otimes _{K}H&{\stackrel {\Delta \otimes \operatorname {Id} _{H}}{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!,\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\&\!\!\!\!\!\cong \searrow &\downarrow \epsilon \otimes \operatorname {Id} _{H}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\&&K\otimes _{K}H&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

und

${\begin{matrix}H&{\stackrel {\Delta }{\longrightarrow }}&H\otimes _{K}H&\\\!\!\!\!\!\epsilon \downarrow &&\downarrow \operatorname {Id} _{H}\cdot S\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&\\K&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&H&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Beispiel

Es sei ${}(G,1,\cdot )$ eine endliche Gruppe und ${}K$ ein kommutativer Ring. Wir setzen

${}H:=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\,$

mit der Addition und Multiplikation von Abbildungen, die unabhängig von ${}G$ sind. Wir definieren auf ${}H$ eine Hopf-Algebrastruktur unter Verwendung der Gruppenstruktur. Die Gruppenmultiplikation

$\mu \colon G\times G\longrightarrow G$

führt zur Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\otimes \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\cong \operatorname {Abb} \,{\left(G\times G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \mu ,$

wodurch wir die Komultiplikation

$\Delta \colon H\longrightarrow H\otimes _{K}H$

festlegen. Das Basiselement ${}e_{\sigma }$ zu ${}\sigma \in G$ wird dabei auf

${}\sum _{\tau \cdot \rho =\sigma }e_{\tau }\otimes e_{\rho }=\sum _{\tau }e_{\tau }\otimes e_{\tau ^{-1}\cdot \sigma }\,$

abgebildet. Das neutrale Element ${}1\in G$ induziert die Auswertungsabbildung

$\epsilon \colon H=\operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow K,\,f\longmapsto f(1),$

und die Inversenbildung

$\operatorname {inv} \colon G\longrightarrow G,\,\sigma \longmapsto \sigma ^{-1},$

führt zu

$S\colon \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(G,K\right)},\,f\longmapsto f\circ \operatorname {inv} ,$

wobei das Basiselement ${}e_{\sigma }$ auf ${}e_{\sigma ^{-1}}$ abgebildet wird. Die Abbildungen ${}\Delta ,\epsilon ,S$ sind offenbar ${}K$- Algebrahomomorphismen. Die Gruppenaxiome kann man durch die Kommutativität geeigneter Diagramme ausdrücken. Wendet man auf diese den Funktor ${}\operatorname {Abb} \,{\left(-,K\right)}$ in Zusammenhang mit geeigneten Identifizierungen an, so erhält man die Kommutativität der Diagramme in der Definition einer Hopf-Algebra.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Auf dem Polynomring ${}K[X]$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

$\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$

festgelegt und das

Koinverse ist durch

$K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$

definiert. Nach Aufgabe 17.14 ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der additiven Gruppe nennt.

Beispiel

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Auf ${}K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}$ kann man folgendermaßen eine Hopf-Struktur erklären. Die Komultiplikation wird durch

$\Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,$

erklärt. Die Koeinheit wird durch

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,$

festgelegt und das

Koinverse ist durch

$K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},$

definiert. Nach Aufgabe 17.17 ist dies in der Tat eine Hopf-Algebra, die man die Hopf-Algebra der multiplikativen Gruppe nennt.

Beispiel

Es sei ${}(D,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}K[D]$ der zugehörige Gruppenring, also

${}K[D]=\bigoplus _{d\in D}KX^{d}\,.$

Darauf lässt sich die Struktur einer Hopf-Algebra erklären, indem man die Komultiplikation als

$\Delta \colon K[D]\longrightarrow K[D]\otimes _{K}K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{d}\otimes X^{d},$

die Koeinheit als

$\epsilon \colon K[D]\longrightarrow K,\,X^{d}\longmapsto X^{0}=1,$

und das Koinverse als

$S\colon K[D]\longrightarrow K[D],\,X^{d}\longmapsto X^{-d},$

ansetzt. Diese

${}K$- Algebrahomomorphismen gehören zu den Gruppenhomomorphismen ${}D\longrightarrow D\times D$, ${}d\longmapsto (d,d)$, ${}D\rightarrow 0$ und ${}D\longrightarrow D$, ${}d\longmapsto -d$, im Sinne von Korollar 8.6.

Die Konstruktion in Beispiel 17.10 ist ein Spezialfall der Hopf-Algebrastruktur auf einem Gruppenring, nämlich für ${}D=\mathbb {Z}$.

Fußnoten

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