Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 17

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subseteq R$ seien Ideale. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R/{\mathfrak {a}}\otimes _{R}R/{\mathfrak {b}}=R/{\left({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S,T\subseteq R$ seien multiplikative Systeme. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{S}\otimes _{R}R_{T}=R_{S\cdot T}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L\otimes _{K}L$ kein Körper sein muss.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ganzer Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen und ${}R\rightarrow R'$ ein weiterer Ringhomomorphismus. Zeige, dass auch

$\varphi '\colon R'\longrightarrow R'\otimes _{R}S,\,f\longmapsto f\otimes 1,$

ganz ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Bestimme zur Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$

zum Ringhomomorphismus

$\varphi \colon K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto X^{n},$

die Fasern zu jedem Punkt ${}{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spek} {\left(K[X]\right)}$. Worin unterscheiden sich die Fasern, welche Eigenschaften sind für jede Faser gleich? Wie viele Isomorphietypen der Fasern gibt es bei ${}K$ algebraisch abgeschlossen?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und ${}L=K(X)$ sein Quotientenkörper. Bestimme die ${}L$- wertigen Punkte von ${}K[X]\otimes _{K}K[X]$. Welcher Punkt entspricht der (zweifach genommenen) natürlichen Inklusion ${}K[X]\subseteq K(X)$?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}$ und ${}B=\bigoplus _{e\in E}B_{e}$ kommutative graduierte ${}R$- Algebren, wobei ${}D$ und ${}E$ kommutative Gruppen seien. Zeige, dass ${}A\otimes _{R}B$ in natürlicher Weise eine ${}D\times E$-Graduierung trägt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$- Algebren. Es seien ${}H$ und ${}G$ Gruppen, wobei die Gruppe ${}H$ auf ${}A$ und die Gruppe ${}G$ auf ${}B$ jeweils als Gruppe von ${}R$- Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass dann eine natürliche Operation der Produktgruppe ${}H\times G$ auf ${}A\otimes _{R}B$ vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einer kommutativen ${}R$- Algebra ${}A$ als Gruppe von ${}R$- Algebrahomomorphismen operiere. Zeige, dass ${}G$ in natürlicher Weise auch auf den Tensorprodukten ${}A\otimes _{R}A$, ${}A\otimes _{R}A\otimes _{R}A$, etc. operiert.

Man überlege sich auch, wo die vorstehende Konstruktion im Laufe der Vorlesung vorkam (ohne dass explizit das Tensorprodukt verwendet wurde).

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}A,B$ kommutative ${}R$- Algebren. Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf ${}R,A,B$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere, wobei die Operationen mit den Strukturhomomorphismen verträglich seien.

1. Zeige, dass ${}G$ in natürlicher Weise auf ${}A\otimes _{R}B$ operiert.
2. Zeige, dass es einen Ringhomomorphismus

   $A^{G}\otimes _{R^{G}}B^{G}\longrightarrow {\left(A\otimes _{R}B\right)}^{G}$

   gibt.

3. Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass der Ringhomomorphismus aus (2) kein Isomorphismus sein muss.

Zu einem Körper ${}K$, zwei Mengen ${}X,Y$ und Funktionen ${}f\colon X\rightarrow K$ und ${}g\colon Y\rightarrow K$ schreiben wir ${}f\cdot g$ für die Abbildung ${}X\times Y\longrightarrow K$, ${}(x,y)\longmapsto f(x)g(y)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}X$ und ${}Y$ endliche Mengen. Zeige, dass man jede Funktion

$h\colon X\times Y\longrightarrow K$

in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit Funktionen

${}f_{i}\colon X\rightarrow K$ und ${}g_{i}\colon Y\rightarrow K$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man nicht jede Funktion

$h\colon \mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow K$

in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit Funktionen

${}f_{i}\colon \mathbb {N} \rightarrow K$ und ${}g_{i}\colon \mathbb {N} \rightarrow K$ schreiben kann.

Aufgabe

Zeige, dass man nicht jede stetige Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit stetigen Funktionen

${}f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe

Wo wird in Beispiel 17.8 die Endlichkeit der Gruppe verwendet?

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf dem Polynomring ${}K[X]$ durch

$\Delta \colon K[X]\longrightarrow K[X]\otimes _{K}K[X]\cong K[X,Y],\,X\longmapsto X\otimes 1+1\otimes X=X+Y,$

durch

$K[X]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 0,$

und durch

$K[X]\longrightarrow K[X],\,X\longmapsto -X,$

eine Hopf-Struktur erklärt wird.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[M\times N]\cong R[M]\otimes _{R}R[N]\,.$

Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass man die Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\sqrt {x^{2}+y^{2}}},$

nicht in der Form

${}h=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\cdot g_{i}\,$

mit stetigen Funktionen

${}f_{i},g_{i}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ schreiben kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass auf ${}K[X,X^{-1}]\cong K[X]_{X}$ durch

$\Delta \colon K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}]\otimes _{K}K[X,X^{-1}]\cong K[X,X^{-1},Y,Y^{-1}],\,X\longmapsto X\otimes 1\cdot 1\otimes X=X\cdot Y,$

durch

$K[X,X^{-1}]\longrightarrow K,\,X\longmapsto 1,$

und durch

$K[X,X^{-1}]\longrightarrow K[X,X^{-1}],\,X\longmapsto X^{-1},$

eine Hopf-Struktur erklärt wird.