Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 16

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige, dass die Skalarmultiplikation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,m)\longmapsto rm,$

${}R$- bilinear ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}U,V,W$ seien ${}R$- Moduln. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}U\otimes _{R}V\cong V\otimes _{R}U\,.$

2. Es ist

   ${}U\otimes _{R}{\left(V\otimes _{R}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\otimes _{R}W\,.$

3. Es ist

   ${}U\otimes _{R}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{R}W\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige die ${}R$- Modulisomorphie

${}R^{n}\otimes _{R}R^{m}\cong R^{nm}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$- Modul. Zeige folgende Aussagen.

1. Zu einem multiplikativen System ${}S\subseteq R$ ist ${}M_{S}\cong R_{S}\otimes _{R}M$.
2. Zu einem Ideal ${}I\subseteq R$ ist ${}M/IM\cong R/I\otimes _{R}M$.

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und ${}R\subseteq S$ sei ein direkter Summand. Zeige, dass für jeden ${}R$- Modul ${}M$ die natürliche Abbildung

$M\longrightarrow S\otimes _{R}M$

injektiv ist.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Ein ${}R$- Modul ${}M$ heißt flach, wenn die Tensorierung mit ${}M$ die Exaktheit von beliebigen Sequenzen erhält.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Zeige, dass der ${}R$- Modul ${}R^{n}$ flach ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht flachen Moduls über einem kommutativen Ring.

Aufgabe

Es sei ${}H$ eine endlich erzeugte kommutative Gruppe und

${}H\cong \mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,$

eine direkte Zerlegung (mit $n_{j}\in \mathbb {N} _{+}$). Zeige mit Hilfe des Tensorproduktes, dass die Zahl ${}r$ in jeder direkten Zerlegung von ${}H$ gleich ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ eine kommutative ${}K$- Algebra und ${}G$ eine Gruppe, die als Gruppe von ${}K$- Algebraautomorphismen auf ${}R$ operiere. Ferner liege eine lineare Operation von ${}G$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ vor. Zeige, dass auf dem ${}R$- Modul ${}R\otimes _{K}V$ eine verträgliche Operation von ${}G$ als Gruppe von ${}R^{G}$- Modulautomorphismen vorliegt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, auf dem eine Gruppe ${}G$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere mit dem Invariantenring ${}R^{G}$. Es sei ${}M$ ein ${}R^{G}$- Modul und ${}R\otimes _{R^{G}}M$ der durch Ringwechsel gewonnene ${}R$-Modul. Zeige, dass es eine verträgliche Operation von ${}G$ auf ${}R\otimes _{R^{G}}M$ als Gruppe von ${}R^{G}$- Modulautomorphismen gibt, und dass es eine natürliche Abbildung

$M\longrightarrow {\left(R\otimes _{R^{G}}M\right)}^{G}$

gibt. Zeige, dass unter der Bedingung, dass ${}R^{G}$ ein direkter Summand von ${}R$ ist, diese Abbildung injektiv ist, und dass dies ohne diese Voraussetzung nicht gelten muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Tensorprodukt

${\left(\mathbb {Z} ^{3}\oplus {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{2}\oplus \mathbb {Z} /(3)\right)}\otimes _{\mathbb {Z} }{\left(\mathbb {Z} ^{2}\oplus \mathbb {Z} /(2)\oplus \mathbb {Z} /(4)\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}S\subseteq R$ ein multiplikatives System. Zeige, dass der ${}R$- Modul ${}R_{S}$ flach ist.