Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 23/latex
\setcounter{section}{23}
In den folgenden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {bis auf Konjugation} {} {}
und die zugehörigen Invariantenringe
\mathl{K[U,V]^G}{} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren
\zusatzklammer {also die Bahnenräume} {} {}
nennt man \stichwort {ADE-Singularitäten} {.} Von Singularitäten spricht man, da diese Invariantenringe keine Polynomringe sind, also nicht \anfuehrung{regulär}{} sind. Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im $\R^3$.
\zwischenueberschrift{Eine Liste von Untergruppen der \mathlk{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}}
Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{.} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist.
\inputbeispiel{}
{
Die
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{}
der Ordnung $n$ lässt sich einfach als eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} realisieren. Dazu sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ = }{ e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ n } } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{n-1} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{j} & 0 \\ 0 & \zeta^{-j} \end{pmatrix} \mid j =0 , \ldots , n-1 \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Diese Untergruppe wird mit $Z_n$ bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei $\zeta$ eine $2n$-te komplexe
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ =} { e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ 2n } } }
}
{ =} { e^{ { \frac{ \pi { \mathrm i} }{ n } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die von den Matrizen
\mathdisp {A= A_{2n} = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} \text{ und } B= \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{}
der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} heißt die \stichwort {binäre Diedergruppe} {.} Sie wird mit $BD_n$ bezeichnet. Das Element $A$ besitzt die Ordnung $2n$ und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A^n
}
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta^n & 0 \\ 0 & \zeta^{-n} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { B^2
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere besitzt $B$ die Ordnung $4$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ BA
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \zeta^{-1} \\ { \mathrm i} \zeta & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta^{-1} & 0 \\ 0 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { A^{2n-1} B
}
}
{}{}{.}
Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als
\mathbeddisp {A^{i} B^{j}} {mit}
{0 \leq i \leq 2n-1,\, 0 \leq j \leq 1} {}
{} {} {} {,}
schreiben. Da $B$ nicht zu der von $A$ erzeugten Untergruppe gehört und
\zusatzklammer {bei
\mathl{n \geq 2}{}} {} {}
umgekehrt, ist diese Darstellung bei
\mathl{n \geq 2}{} eindeutig und
\mathl{BD_n}{} besitzt genau $4n$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z_{2n}
}
{ \subseteq }{ BD_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vom
\definitionsverweis {Index}{}{}
$2$ vor.
}
\inputbeispiel{}
{
Die Matrizen
\mathdisp {A = A_8= \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} ,\, B = \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \text{ und } C = { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}} { , }
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{.} Die
\definitionsverweis {Ordnungen}{}{}
dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A^4
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} {B^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also besitzt $A$ die Ordnung $8$ und $B$ die Ordnung $4$. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ =} { e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ 8 } } }
}
{ =} { e^{ { \frac{ \pi { \mathrm i} }{ 4 } } }
}
{ =} { { \frac{ 1+ { \mathrm i} }{ \sqrt{2} } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{C^3
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^6 + \zeta^4 & \zeta^6+1 \\ \zeta^4 + \zeta^6 & \zeta^4+\zeta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^3 + \zeta^5 & \zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^7 + \zeta \\ \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta + \zeta^7 & \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta^5 + \zeta^3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{,}
sodass die Ordnung von $C$ gleich $6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als
\mathl{A^{i}B^{j}C^{k}}{} schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit
\mathkor {} {A} {oder} {B} {}
rechterhand multipliziert. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{C A
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} 1 & \zeta^6 \\ \zeta^6 & 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2} { \mathrm i} \\ -\sqrt{2} { \mathrm i} & \sqrt{2} \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta +\zeta^7 & \zeta^5 + \zeta^7 \\ \zeta^7 + \zeta^5 & \zeta^7 + \zeta \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 +\zeta^6 & \zeta^4 + \zeta^6 \\ 1 + \zeta^6 & 1 + \zeta^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^6+ \zeta^4 & \zeta^6+1 \\ \zeta^4+ \zeta^6 & \zeta^4 + \zeta^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}^2
}
{ =} { A B C^2
}
}
{}{,}
man kann also $A$ von rechts an $C$ vorbeischieben.
Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{CB
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta & \zeta \\ \zeta^3 & \zeta^7 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} { \mathrm i} & 0 \\ 0 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}
}
{ =} {A^2 C
}
}
{}
{}{}
kann man $B$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{BA
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & \zeta \\ \zeta^3 & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta^7 & 0 \\ 0 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix}^7 \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { A^7 B
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
kann man $B$ von rechts an $A$ vorbeischieben. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { A^4
}
{ =} { B^2
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kann man sogar jedes Gruppenelement als
\mathbeddisp {A^{i}B^{j}C^{k}} {mit}
{0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2,\,} {}
{} {} {} {}
schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte
\mathbed {A^{i}B^{j}} {mit}
{0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1,} {}
{} {} {} {}
bilden nach
Beispiel 23.2
die
\definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_4}{} der Ordnung $16$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung $16$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung $3$
\zusatzklammer {die von $C^2$ erzeugte Untergruppe} {} {,}
also muss ihre Ordnung $48$ sein
\zusatzklammer {und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben} {} {.}
Es handelt sich also um eine Gruppe mit $48$ Elementen, die die \stichwort {binäre Oktaedergruppe} {} heißt. Sie wird mit $BO$ bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z_8
}
{ \subseteq} {BD_4
}
{ \subseteq} {BO
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
vor.
}
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} ,\, B = \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \text{ und } C = { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}} { , }
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der
\definitionsverweis {binären Oktaedergruppe}{}{}
\mathl{BO}{.} Die darin von
\mathl{A^2,B,C}{} erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen
\mathbed {A^{2i}B^{j}C^k} {mit}
{0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2} {}
{} {} {} {,}
wie ähnliche Berechnungen wie die aus
Beispiel 23.3
zeigen, und besitzt demnach $24$ Elemente. Diese Gruppe nennt man die \stichwort {binäre Tetraedergruppe} {,} sie wird mit $BT$ bezeichnet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $\xi$ eine
\definitionsverweis {primitive}{}{}
$5$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen
\mathdisp {E= - \begin{pmatrix} \xi^3 & 0 \\ 0 & \xi^2 \end{pmatrix} \text{ und } F= { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix}} { . }
Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} heißt die \stichwort {binäre Ikosaedergruppe} {.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E^5
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit besitzt $E$ die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$10$. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{F^2
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} \xi^2 + \xi^3 -2+ \xi^4+\xi -2 & 0 \\ 0 & \xi^4+\xi -2+\xi^2 + \xi^3 -2 \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{}
besitzt $F$ die Ordnung $4$. Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{EF
}
{ =} { - \begin{pmatrix} \xi^3 & 0 \\ 0 & \xi^2 \end{pmatrix} \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix}
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Dabei ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2 & -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 \\ \xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 & - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\zusatzklammer {unter Verwendung von
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \xi^2+\xi^3
}
{ = }{ - { \frac{ 1 + \sqrt{5} }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix}^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2 & -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 \\ \xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 & - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi & 0 \\ 0 & 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -5 -10 { \left( \xi^3+ \xi^2 \right) } & 0 \\ 0 & -5 -10 { \left( \xi^3+ \xi^2 \right) } \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 5 \sqrt{5} \end{pmatrix}
}
}
{}
{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(EF)^3
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Ordnung von $EF$ ist $6$. Diese Gruppe besitzt
\mathl{120}{} Elemente und heißt die \stichwort {binäre Ikosaedergruppe} {,} sie wird mit $BI$ bezeichnet.
}
\zwischenueberschrift{Untergruppen der speziellen unitären Gruppe}
In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} sind die
\zusatzklammer {erzeugenden} {} {}
Matrizen von der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & - \overline{ v } \\ v & \overline{ u } \end{pmatrix}} { , }
d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^n$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , z \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n w_i \overline{ z_i }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert. Eine lineare Abbildung
\maabb {f} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n
} {}
heißt \stichwort {unitär} {,} wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f(w) , f(z) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle w , z \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w,z
}
{ \in }{ {\mathbb C}^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.
\inputdefinition
{}
{
Der ${\mathbb C}^n$ sei mit dem
\definitionsverweis {komplexen Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Die Menge aller
\definitionsverweis {unitären}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabb {f} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n
} {}
bilden eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die die
\definitionswort {unitäre Gruppe}{}
heißt. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{U}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Der ${\mathbb C}^n$ sei mit dem
\definitionsverweis {komplexen Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Die Menge aller
\definitionsverweis {unitären}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabb {f} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n
} {}
mit
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$1$ bilden eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die die
\definitionswort {spezielle unitäre Gruppe}{}
heißt. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{SU}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Jede endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{G \subseteq \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}}
\faktfolgerung {ist zu einer Untergruppe der
\mathl{\operatorname{SU}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}
\definitionsverweis {konjugiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
auf dem ${\mathbb C}^n$. Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq} {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein neues
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
auf ${\mathbb C}^n$, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi(w,z)
}
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma w , \sigma z \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach Aufgabe 23.6
handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement
\mathl{\tau \in G}{} ist ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi( \tau w , \tau z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma \tau w , \sigma \tau z \right\rangle
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma w , \sigma z \right\rangle
}
{ =} {\Phi( w , z)
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu $G$ gehörenden linearen Abbildungen sind also
\definitionsverweis {unitär}{}{}
bezüglich $\Phi$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von ${\mathbb C}^n$ bezüglich $\Phi$ und sei $M$ die Matrix, deren Spalten die $u_i$ sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ \defeq} { M^{-1} G M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { { \left\{ M^{-1} \sigma M \mid \sigma \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dabei gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , z \right\rangle
}
{ =} {\Phi ( Mw, Mz )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da dies für die Standardbasis git. Für
\mathl{\tau \in H}{} und
\mathl{w,z \in {\mathbb C}^n}{} gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle \tau w , \tau z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle M^{-1} \sigma M w , M^{-1} \sigma M z \right\rangle
}
{ =} { \Phi ( \sigma Mw, \sigma Mz )
}
{ =} { \Phi ( Mw, Mz )
}
{ =} { \left\langle w , z \right\rangle
}
}
{}
{}{,}
d.h. $H$ ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau
}
{ =} { M^{-1} \sigma M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\sigma \in \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} besitzt auch $\tau$ die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
$1$, und daher ist
\mathl{H \subseteq \operatorname{SU}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{.}
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