Kurs:Körper- und Galoistheorie/10/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	3	5	3	0	4	0	12	0	4	4	0	5	4	4	7	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein algebraisch abgeschlossener Körper.
2. Eine einfache Radikalerweiterung (von Körpern).
3. Ein Hauptidealbereich.
4. Ein über einem Körper ${}K$ algebraisches Element ${}f\in A$ einer ${}K$- Algebra ${}A$.
5. Eine normale Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Ein aus einer Teilmenge ${}M\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ in einem Schritt konstruierbarer Punkt ${}P\in E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.
2. Der Satz über die Charakterisierung normaler Körpererweiterungen.
3. Der Satz über die Konstruktion der Quadratwurzel.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}\zeta \neq 1$ eine ${}n$-te Einheitswurzel. Zeige

${}\zeta ^{n-1}+\zeta ^{n-2}+\cdots +\zeta +1=0\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}p\neq 0$ ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

1. ${}p$ ist ein Primelement.
2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ algebraisch ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$ eine Erweiterung endlicher Körper mit ${}q=p^{e}$ und es sei ${}u$ eine primitive Einheitswurzel von ${}{\mathbb {F} }_{q}$. Was ist die erste Potenz ${}u^{n}$, ${}n\geq 1$, die zu ${}\mathbb {Z} /(p)$ gehört? Ist dieses ${}u^{n}$ ein primitives Element von ${}{\left(\mathbb {Z} /(p)\right)}^{\times }$?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (12 (3+1+6+2) Punkte)

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.$

Man gebe auch eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ an.

b) Zeige, dass in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ alle Elemente der Form ${}m^{3}p$ und ${}n^{3}p^{2}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Q}$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${}x\in \mathbb {Q}$ besitze in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${}x$ die Form

$x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}$

mit ${}k,m,n\in \mathbb {Q}$ besitzt.

d) Es sei nun ${}q$ eine weitere, von ${}p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}X^{n}-a\in \mathbb {Q} [X]$ mit ${}n\geq 4$ gerade. Zeige, dass der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-a$ maximal den Grad ${}{\frac {n!}{2}}$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{9}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise ${}K_{1}$ und ${}K_{2}$, wobei ${}K_{1}$ den Mittelpunkt ${}(3,4)$ und den Radius ${}6$ und ${}K_{2}$ den Mittelpunkt ${}(-8,1)$ und den Radius ${}7$ besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass zu zwei konstruierbaren positiven reellen Zahlen ${}a$ und ${}b$ die Potenz ${}a^{b}$ nicht konstruierbar sein muss.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass man zu einer positiven reellen Zahl ihre Quadratwurzel mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise das Austauschlemma für Transzendenzbasen.