Kurs:Körper- und Galoistheorie/13/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 3 | 4 | 0 | 2 | 3 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 | 7 | 4 | 4 | 4 | 3 | 2 | 3 | 48 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
- Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
- Eine algebraische Zahl .
- Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
- Ein vollkommener Körper.
- Eine auflösbare Gruppe .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Struktur von quadratischen Körpererweiterungen in Charakteristik .
- Der Satz über die Norm und die Spur im Minimalpolynom zu einem Element einer Körpererweiterung.
- Die Klassengleichung.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei versehen mit der üblichen Addition. Es sei fixiert. Zeige, dass mit der Verknüpfung
ein Körper vorliegt. Was ist dabei das neutrale Element zur neuen Multiplikation ?
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über Normalteiler und Restklassengruppe.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Es seien verschiedene Primzahlen und
die zugehörige Körpererweiterung. Erstelle die Multiplikationsmatrix zu einem Element bezüglich der Basis .
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige, dass die Norm
folgende Eigenschaften besitzt.
- Es ist .
- Für ist , wobei den Grad der Körpererweiterung bezeichne.
- Es ist genau dann, wenn ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Es sei eine endliche separable Körpererweiterung und , , ein Zwischenkörper. Zeige, das auch eine separable Körpererweiterung ist.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)
- Bestimme die Zerlegung von in .
- Bestimme den Zerfällungskörper von .
- Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
- Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten den fünften Kreisteilungskörper mit der - Basis , wobei ist.
- Bestimme die Multiplikationsmatrizen zu , , bezüglich dieser Basis.
- Bestimme die Matrizen zu den Elementen der Galoisgruppe bezüglich dieser Basis.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme das Kreisteilungspolynom .
Aufgabe * (3 Punkte)
Es seien zwei verschiedene Punkte in der Ebene gegeben. Es bezeichne den Kreis mit Mittelpunkt durch den Punkt . Konstruiere (ohne andere Konstruktionen zu verwenden) die Tangente an den Kreis durch . Skizziere die Situation.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es seien konstruierbare Zahlen. Bestimme, ob die Zahl
konstruierbar ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen und )
und
die Relation
erfüllen.