Kurs:Körper- und Galoistheorie/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	1	3	3	0	0	0	0	8	0	12	0	0	33

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$ in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Ein separables Polynom ${}P\in K[X]$ über einem Körper ${}K$.
4. Eine (endliche) Galoiserweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Eine auflösbare Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
6. Ein aus einer Teilmenge ${}M\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ konstruierbarer Punkt ${}P\in E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
2. Der Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
3. Der Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (8 (3+5) Punkte)

Es seien ${}p,q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}$ und sei

${}f={\sqrt {p}}+{\sqrt {q}}\,.$

a) Zeige, dass es ein Polynom ${}Q\in \mathbb {Q} [X]$ der Form

${}G=X^{4}+cX^{2}+d\,$

mit ${}G(f)=0$ gibt.

b) Es seien nun zusätzlich ${}p$ und ${}q$ verschiedene Primzahlen. Zeige, dass das Polynom ${}G$ aus Teil a) das Minimalpolynom zu ${}f$ ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen in Charakteristik ${}0$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)