Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 12/latex
\setcounter{section}{12}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{,} deren
\definitionsverweis {Grad}{}{} eine Primzahl sei. Zeige, dass dann eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ K(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subset }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {einfache}{}{,}
aber keine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{P \in K[X]}{} ein
\definitionsverweis {separables Polynom}{}{.}
Zeige, dass ein Teiler
\mathl{F \in K[X]}{} von $P$ ebenfalls separabel ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Ist ein konstantes Polynom
\mathl{P\in K[X]}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper. Zeige, das auch
\mathl{M \subseteq L}{} eine separable Körpererweiterung ist.
}
{} {}
In den nächsten Aufgaben verwenden wir die folgende Definition.
Ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ heißt \definitionswort {vollkommen}{,} wenn jedes
\definitionsverweis {irreduzible Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {vollkommener Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {Körper}{}{} der \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $0$ \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass jeder \definitionsverweis {algebraisch abgeschlossene Körper}{}{} \definitionsverweis {vollkommen}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Körper
\mathl{{\mathbb F}_p(X)}{} der rationalen Funktionen nicht
\definitionsverweis {vollkommen}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K\subseteq L}{,} die nicht
\definitionsverweis {separabel}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein unendlicher Körper und sei
\mathl{F \in K[X_1 , \ldots , X_n]}{} ein von $0$ verschiedenes Polynom. Zeige, dass dann die zugehörige Polynomfunktion
\maabbeledisp {F} {K^n} {K
} {(a_1 , \ldots , a_n)} {F(a_1 , \ldots , a_n)
} {,}
nicht die Nullfunktion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen
\mathkor {} {K} {und} {L} {} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{L=K(X)}{} der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{} des
\definitionsverweis {Polynomrings}{}{} $K[X]$. Es sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{M \neq K} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Zeige, dass
\mathl{M \subseteq L}{} eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der positiven
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$p$. Wir betrachten die Körpererweiterung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K(X^p,Y^p)
}
{ \subseteq} { K(X,Y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass dies keine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
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