Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 2/latex

\setcounter{section}{2}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Finde die Lösungen der kubischen Gleichung
\mathdisp {x^3+px=0} { }
\zusatzklammer {\mathlk{p \in {\mathbb C}}{}} {} {} direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass $L$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {\mu_f} { L } { L } { x } { fx } {,} $K$-\definitionsverweis {linear}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit einer \definitionsverweis {Charakteristik}{}{} $\neq 2$ und es sei
\mathl{K \subset L}{} eine \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.} Zeige, dass es dann ein
\mathbed {x \in L} {}
{x \notin K} {}
{} {} {} {,} mit
\mathl{x^2 \in K}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^3+pX+q }
{ \in }{ \Q[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha_1,\alpha_2, \alpha_3 }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Nullstellen dieses Polynoms. Konstruiere unter Bezug auf die Formel von Cardano eine Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q }
{ \subseteq} {K }
{ \subseteq} {L }
{ \subseteq} {M }
{ } { }
} {}{}{} von \definitionsverweis {endlichen Körpererweiterungen}{}{} von \anfuehrung{möglichst kleinem}{} \definitionsverweis {Grad}{}{,} sodass $M$ alle Nullstellen und alle \anfuehrung{Hilfszahlen}{,} die in dieser Formel auftreten, enthält. Welche Grade können dabei auftreten?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht \definitionsverweis {endlich}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} über $\R$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bildet.

}
{(Dieser Körper wird mit
\mathl{\R(X)}{} bezeichnet.)} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei $M$ die Menge der $n$-ten \definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{} in $K$. Zeige, dass $M$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der \definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $K^{\times}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Beweise die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1,b_2 }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zwei Lösungen der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_2 }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.} } {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n }
{ = }{ a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{.} Zeige, dass dann auch $K[ { \mathrm i} ]$ ein Unterkörper von ${\mathbb C}$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 , \ldots , x_n }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$. Zeige, dass die Multiplikation auf $L$ durch die Produkte
\mathbeddisp {x_i x_j} {}
{1 \leq i\leq j \leq n} {}
{} {} {} {,} eindeutig festgelegt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {\Q \subseteq K \subset {\mathbb C}} {und} {\Q \subseteq L \subset {\mathbb C}} {} zwei \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{} von $\Q$ vom Grad \mathkor {} {d} {bzw.} {e} {.} Es seien \mathkor {} {d} {und} {e} {} \definitionsverweis {teilerfremd}{}{.} Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K \cap L }
{ =} { \Q }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R }
{ \subseteq }{ \R(X) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei $\R(X)$ den \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{} bezeichnet, nicht \definitionsverweis {endlich}{}{} ist.

}
{} {}