Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 20/latex

\setcounter{section}{20}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche für jede Filtrierung von $S_3$ mit \definitionsverweis {Untergruppen}{}{,} ob eine \definitionsverweis {auflösende Filtrierung}{}{} vorliegt oder nicht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist, wenn die \definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{}
\mathl{K(G)}{} trivial ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige die Beziehung
\mathl{\varphi (K(G)) \subseteq K(H)}{.}

}
{} {}

Die folgende Aussage heißt Satz von Cayley.

Jede \definitionsverweis {Gruppe}{}{} lässt sich als \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} einer \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} realisieren. Jede endliche Gruppe lässt sich als Untergruppe einer endlichen Permutationsgruppe realisieren.

\inputaufgabe
{}
{

Beweise den Satz von Cayley für Gruppen.

}
{} {}

Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} heißt \definitionswort {einfach}{,} wenn sie genau zwei \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} enthält \zusatzklammer {nämlich sich selbst und die triviale Gruppe} {} {.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} nicht \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ nicht \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} nicht \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} besitzt, die kein \definitionsverweis {Normalteiler}{}{} ist.

}
{} {}

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A_n }
{ \defeq} {{ \left\{ \sigma \in S_n \mid \operatorname{sgn}(\sigma) = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {geraden Permutationen}{}{} die \definitionswort {alternierende Gruppe}{.}

Wir erwähnen, dass die alternierenden Gruppen
\mathbed {A_n} {}
{n \geq 5} {}
{} {} {} {,} einfach sind \zusatzklammer {das ist eine nichttriviale Aussage} {} {.} Dies bedeutet, dass die Permutationsgruppen
\mathbed {S_n} {}
{n \geq 5} {}
{} {} {} {,} nur die alternierende Gruppe als Normalteiler enthalten.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $A_n$ eine \definitionsverweis {alternierende Gruppe}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 4 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $A_n$ nicht kommutativ ist.

}
{} {}

Eine Gruppe $G$ heißt \definitionswort {perfekt}{,} wenn sie gleich ihrer eigenen \definitionsverweis {Kommutatoruntergruppe}{}{} ist, also wenn
\mathl{G =K(G)}{} gilt.

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {einfache}{}{,} nicht \definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {perfekt}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass für
\mathl{n \leq 4}{} die \definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{} $S_n$ \definitionsverweis {auflösbar}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann \definitionsverweis {einfach}{}{} ist, wenn $G$ \definitionsverweis {endlich}{}{} und ihre \definitionsverweis {Ordnung}{}{} eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass jede \definitionsverweis {gerade Permutation}{}{}
\mathbed {\sigma \in S_n} {}
{n \geq 3} {}
{} {} {} {,} ein Produkt aus Dreierzykeln ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige: Keine der \definitionsverweis {alternierenden Gruppen}{}{} $A_n$ besitzt eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} zwei.

}
{} {Hinweis: Aufgabe 20.11 hilft.}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} mit \definitionsverweis {Zentrum}{}{} $Z(G)$. Zeige: \aufzaehlungdrei{$G$ ist genau dann \definitionsverweis {abelsch}{}{,} wenn
\mathl{G/Z(G)}{} \definitionsverweis {zyklisch}{}{} ist. }{Der \definitionsverweis {Index}{}{} von $Z(G)$ in $G$ ist keine Primzahl. }{Ist $G$ von der Ordnung $pq$ für zwei Primzahlen $p$ und $q$, so ist $G$ abelsch oder $Z(G)$ trivial. }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} mit mindestens $4$ Elementen. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{SL}_2(K)}{} \definitionsverweis {perfekt}{}{} ist.

}
{} {Tipp: Es gibt ein
\mathl{x \in K}{} mit
\mathl{x^2 - 1 \neq 0}{.}}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass
\mathl{\operatorname{SL}_2(K)}{} von
\mathdisp {\{ \begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, \vert \, b \in K\} \cup \{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ c & 1\end{pmatrix} \, \vert \, c \in K\}} { }
erzeugt wird.

}
{} {}