Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Diagonalisierbare Abbildungen/Ergänzungen/Textabschnitt/latex
\setcounter{section}{8}
\inputfakt{Endomorphismus/Diagonalisierbar/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}
}{Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
und für jede Nullstelle $\lambda$ stimmt die
\definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{}
$\mu_\lambda$ mit der
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{}
\mathl{\dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }}{}
überein.
}{Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ zu $\varphi$ zerfällt in Linearfaktoren, die alle
\definitionsverweis {einfach}{}{}
sind.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Man sagt, dass die
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi_1 , \ldots , \varphi_n} {V} {V
} {}
\definitionswort {simultan diagonalisierbar}{} sind, wenn es eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $V$ derart gibt, dass jedes $v_i$ für jedes $\varphi_j$ ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
ist.
}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Torsionselement/Diagonalisierbarkeitseigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mathl{\varphi^n =
\operatorname{Id}_{ V }}{} für ein
\mathl{n \in \N}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach der Voraussetzung an $\varphi$ ist das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $\varphi$ ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.} Nach der Voraussetzung an den Körper besitzt dieses Polynom $n$ verschiedene Nullstellen. Daher zerfällt das Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren. Nach
Satz Anhang 7.1
ist somit $\varphi$ diagonalisierbar.
\inputfakt{Lineare Algebra/Satz über die simultane Diagonalisierbarkeit/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
$V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien
\maabbdisp {\varphi_1 , \ldots , \varphi_n} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,}
die alle
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
seien.}
\faktfolgerung {Dann sind diese linearen Abbildungen genau dann
\definitionsverweis {simultan diagonaliserbar}{}{,}
wenn sie
\definitionsverweis {paarweise vertauschbar}{}{}
sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}