Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Diagonalisierbare Abbildungen/Ergänzungen/Textabschnitt/latex

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\inputfakt{Endomorphismus/Diagonalisierbar/Charakteristisches Polynom/Minimalpolynom/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.} }{Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{} und für jede Nullstelle $\lambda$ stimmt die \definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{} $\mu_\lambda$ mit der \definitionsverweis {geometrischen Vielfachheit}{}{}
\mathl{\dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }}{} überein. }{Das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} $P$ zu $\varphi$ zerfällt in Linearfaktoren, die alle \definitionsverweis {einfach}{}{} sind. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Man sagt, dass die \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi_1 , \ldots , \varphi_n} {V} {V } {} \definitionswort {simultan diagonalisierbar}{} sind, wenn es eine \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von $V$ derart gibt, dass jedes $v_i$ für jedes $\varphi_j$ ein \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{} ist.

}





\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Torsionselement/Diagonalisierbarkeitseigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}}
\faktvoraussetzung {mit
\mathl{\varphi^n = \operatorname{Id}_{ V }}{} für ein
\mathl{n \in \N}{.} Es sei vorausgesetzt, dass $K$ eine $n$-te \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{} enthält.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach der Voraussetzung an $\varphi$ ist das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} von $\varphi$ ein Teiler von
\mathl{X^n-1}{.} Nach der Voraussetzung an den Körper besitzt dieses Polynom $n$ verschiedene Nullstellen. Daher zerfällt das Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren. Nach Satz Anhang 7.1 ist somit $\varphi$ diagonalisierbar.

}





\inputfakt{Lineare Algebra/Satz über die simultane Diagonalisierbarkeit/Fakt}{Satz}{} {

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{.} Es seien \maabbdisp {\varphi_1 , \ldots , \varphi_n} {V} {V } {} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,} die alle \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} seien.}
\faktfolgerung {Dann sind diese linearen Abbildungen genau dann \definitionsverweis {simultan diagonaliserbar}{}{,} wenn sie \definitionsverweis {paarweise vertauschbar}{}{} sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}

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