Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1/latex
\setcounter{section}{1}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die quadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{4 x^2+ 5 x+2
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\Z/(7)$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige folgende Aussagen.
\aufzaehlungvier{Die dritten Einheitswurzeln in ${\mathbb C}$ sind
$1,\, \epsilon= - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$ und $\eta = - { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } { \mathrm i}$.
}{Es ist
\mathl{\epsilon^2 = \eta}{} und
\mathl{\eta^2= \epsilon}{.}
}{Es ist
\mathl{1+\epsilon + \epsilon^2 =0}{.}
}{Es ist
\mathl{\epsilon + \epsilon^2 =-1}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eliminiere in der kubischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +6x^2-5x-2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den quadratischen Term.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Eliminiere in der kubischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +2x^2-2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den quadratischen Term.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^ 3-3X^ 2+7X-21} { }
ohne die Formeln von Cardano.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde die Lösungen der kubischen Gleichung
\mathdisp {x^3+px=0} { }
\zusatzklammer {\mathlk{p \in {\mathbb C}}{}} {} {}
direkt und mit Hilfe der
Formel von Cardano.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass
\mathdisp {- { \frac{ 2 }{ 3 } } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3] {19 + 3 \sqrt{33} } + { \frac{ 1 }{ 3 } } \sqrt[3] {19 - 3 \sqrt{33} }} { }
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+2X^2-2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z^3 - { \frac{ 4 }{ 3 } } z - { \frac{ 38 }{ 27 } }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
der Cardanoschen Formel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3-x+5
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
der Cardanoschen Formel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die komplexen
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 2 \\0 & -1 & 5 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Löse die biquadratische Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^4 +7x^2-11
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über $\R$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Bestimme die kleinste positive Nullstelle von $P$.
} {Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
Zeige unter Verwendung der
eindeutigen Primfaktorzerlegung
von natürlichen Zahlen, dass die
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
\mathl{\sqrt{p}}{}
\definitionsverweis {irrational}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 =0}{} eine kubische Gleichung mit
\mathl{a_i \in \Q}{.} Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über $\Q$ möglich?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mathdisp {a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x +a_0 =0} { }
eine polynomiale Gleichung mit
\mathbed {a_i \in {\mathbb C}} {}
{a_n \neq 0} {}
{} {} {} {.}
Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
\mathdisp {x^n +b_{n-2}x^{n-2} + \cdots + b_1x+b_0=0} { }
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Bestimme die Lösungen der Gleichung
\mathdisp {2x^3-4x^2+5x-3=0} { }
mit der
\definitionsverweis {Cardanoschen Formel}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung
\mathdisp {x^6-4x^2+7 =0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass $K$ nicht endlich sein kann.
}
{} {}
In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper
\mathl{L=\Q[\sqrt{3}]}{} aus
Beispiel 1.7
gerechnet werden.
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in $(\Q[\sqrt{3}])[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^3-(2+\sqrt{3})X^2+5\sqrt{3}X+1+2\sqrt{3}} {und} {T=\sqrt{3}X^2-X+2+7\sqrt{3}} {} durch.
}
{} {}