Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1



Aufwärmaufgaben

Löse die quadratische Gleichung über .



Bestätige folgende Aussagen.

  1. Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
  2. Es ist und .
  3. Es ist .
  4. Es ist .



Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.



Eliminiere in der kubischen Gleichung

den quadratischen Term.



Finde die Nullstellen des Polynoms

ohne die Formeln von Cardano.



Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.



Finde die Lösungen der kubischen Gleichung

() direkt und mit Hilfe der Formel von Cardano.



Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.



Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.



Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.



Bestimme die komplexen Eigenwerte der Matrix



Löse die biquadratische Gleichung über .



Es sei

  1. Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
  2. Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?



Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.



Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.



Es sei eine kubische Gleichung mit . Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über möglich?




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine polynomiale Gleichung mit , .

Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
gibt.



Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Gleichung

mit der Cardanoschen Formel.



Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung



Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper aus Beispiel 1.7 gerechnet werden.


Aufgabe (4 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.



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