Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 1
- Aufwärmaufgaben
Löse die quadratische Gleichung über .
Bestätige folgende Aussagen.
- Die dritten Einheitswurzeln in sind und .
- Es ist und .
- Es ist .
- Es ist .
Eliminiere in der kubischen Gleichung
den quadratischen Term.
Eliminiere in der kubischen Gleichung
den quadratischen Term.
Finde die Nullstellen des Polynoms
ohne die Formeln von Cardano.
Zeige, dass
eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Zeige, dass
eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Bestimme die komplexen Eigenwerte der Matrix
Löse die biquadratische Gleichung über .
Es sei
- Bestimme die kleinste positive Nullstelle von .
- Besteht ein Zusammenhang zwischen dieser Nullstelle und ?
Es sei eine Primzahl. Zeige unter Verwendung der eindeutigen Primfaktorzerlegung von natürlichen Zahlen, dass die reelle Zahl irrational ist.
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
Es sei eine kubische Gleichung mit . Eliminiere den linearen Term. Ist dies stets über möglich?
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei
eine polynomiale Gleichung mit , .
Zeige, dass es eine äquivalente polynomiale Gleichung der Form
Aufgabe (6 Punkte)
Aufgabe (5 Punkte)
Bestimme die Lösungen der polynomialen Gleichung
Aufgabe (2 Punkte)
Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.
In der nächsten Aufgabe soll über dem Körper aus
Beispiel 1.7
gerechnet werden.
Aufgabe (4 Punkte)
Führe in die Division mit Rest „ durch “ für die beiden Polynome und durch.
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