Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 24
- Aufwärmaufgaben
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Es seien zwei Punkte auf einer Geraden und sei eine weitere Gerade durch . Konstruiere mit Zirkel und Lineal eine Raute, sodass und Eckpunkte sind und eine Seite auf liegt.
Es sei ein nichtausgeartetes Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten . Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Es sei ein Dreieck durch die Eckpunkte in der Ebene mit den Seiten gegeben. Es sei ferner eine Strecke durch zwei Punkte gegeben. Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein zu ähnliches (also winkelgleiches) Dreieck derart, dass eine Seite von ist und dass der Seite entspricht.
Es sei ein Kreis und ein Punkt gegeben. Konstruiere die Tangente an den Kreis durch .
Es sei eine Gerade und ein Punkt gegeben. Konstruiere einen Kreis mit Mittelpunkt derart, dass die Gerade eine Tangente an den Kreis wird.
Es sei
ein nichtkonstruierbarer Punkt.
a) Zeige, dass es unendlich viele Geraden durch gibt, auf denen mindestens ein konstruierbarer Punkt liegt.
b) Zeige, dass es maximal eine Gerade durch gibt, auf der es mindestens zwei konstruierbare Punkte gibt.
Erläutere geometrisch, warum die das neutrale Element der geometrischen Addition von reellen Zahlen ist.
Rekapituliere die Strahlensätze.
Es seien und zwei konstruierbare Punkte. Zeige, dass dann auch der Abstand konstruierbar ist.
Beschreibe die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eines regelmäßigen Fünfecks, wie sie in der folgenden Animation dargestellt ist.
Zeige, dass man aus dem Einheitsintervall als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
![{\displaystyle {}[0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a5d0a058030cf6f54dea8f7b56f08f18cfa7e4f)
Zeige, dass man aus als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Aus einer Menge seien „wie üblich“ Geraden und Kreise elementar konstruierbar. Als neue Punkte seien allerdings nur die Durchschnitte von einer Geraden mit einer Geraden und von einer Geraden mit einem Kreis erlaubt (also nicht der Durchschnitt von zwei Kreisen). Bestimme die Menge der Punkte, die aus der Anfangsmenge auf diese Weise konstruierbar ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (5 Punkte)
Berechne die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.
Aufgabe (6 Punkte)
Es sei eine zweielementige Menge in der Ebene gegeben. Wie viele Punkte lassen sich aus in einem Schritt, in zwei Schritten und in drei Schritten konstruieren?
Aufgabe (2 Punkte)
Erläutere geometrisch, warum die das neutrale Element der geometrischen Multiplikation von reellen Zahlen ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Erläutere geometrisch, woran die geometrische Division von reellen Zahlen durch scheitert.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme alle Lösungen der Kreisgleichung
für die Körper , und .
Aufgabe (12 Punkte)
Schreibe Computeranimationen, die die in Lemma 24.6 beschriebenen Konstruktionen veranschaulichen (über Commons hochladen).
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