Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 26/latex
\setcounter{section}{26}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.} Zeige, dass $G$ genau dann \definitionsverweis {kommutativ}{}{} ist, wenn alle \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} einelementig sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien
\mathl{x,y \in G}{}
\definitionsverweis {konjugierte Elemente}{}{.} Zeige, dass
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
die gleiche
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass zwei
\definitionsverweis {Permutationen}{}{}
\mathl{\sigma, \tau \in S_n}{} genau dann
\definitionsverweis {konjugiert}{}{}
sind, wenn ihre
\definitionsverweis {Zykeldarstellung}{}{}
den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe
die Klassengleichung
für die
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{}
\mathl{S_2,S_3,S_4,S_5}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe die Klassengleichung für die \definitionsverweis {eigentliche Würfelgruppe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme zu jeder Permutation
\mathbed {\pi \in S_n} {}
{n=2,3,4,5} {}
{} {} {} {,}
die Isotropiegruppe $G_\pi$ und die Konjugationsklasse
\mathl{[\pi]}{,} und bestätige die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname {ord} { { \left( G_\pi \right) } } \cdot { \# \left( [\pi] \right) }
}
{ =} { n!
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Lemma 26.3.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und $G$ eine \definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} mit $p^r$ Elementen. Zeige, dass $G$ \definitionsverweis {auflösbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
\mathbed {\Q \subseteq K} {}
{K \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,}
das zeigt, dass zu einem Element
\mathl{z=a+b { \mathrm i} \in K}{} die reellen Koordinaten
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
nicht zu $K$ gehören müssen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {erzeugte Unterkörper}{}{}
\mathl{\Q(z)}{} eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{.} Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von $F$ ebenfalls konstruierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{.} Zeige, dass der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von
\mathl{F}{} eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
von $\Q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} in einer
\definitionsverweis {auflösbaren Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$p^r$ mit einer Primzahl $p$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es einen echten Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subset }{M
}
{ \subset }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, der über $K$ eine Galoiserweiterung ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ L_0
}
{ \subset }{ L_1
}
{ \subset \ldots \subset }{ L_r
}
{ = }{ L
}
}
{}{}{}
eine Kette von
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{}
in ${\mathbb C}$. Zeige, dass es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ = }{ M_0
}
{ \subset }{ M_1
}
{ \subset \ldots \subset }{ M_s
}
{ = }{ M
}
}
{}{}{}
derart gibt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde zur Kette aus quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset} { \Q[\sqrt{2}]
}
{ \subset} {\Q[\sqrt[4]{2}]
}
{ =} {L
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
minimalen Grades mit
\mathl{\sqrt[4]{2} \in M}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{K \subseteq L \subseteq M}{}
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{.}
Es sei $F \in K[X]$ ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{,}
dass über $M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper $L$ enthalte keine Nullstelle von $F$. Folgt daraus, dass $F$ irreduzibel über $L$ ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
in ${\mathbb C}$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
der Unterkörper, der aus allen
\definitionsverweis {konstruierbaren Zahlen}{}{}
in $L$ besteht. Zeige, dass für jeden
\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} \Q )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(K)
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n}{}
\definitionsverweis {algebraische Zahlen}{}{.}
a) Zeige, dass es ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} derart gibt, dass man alle $\alpha_i$ als
$\Q$-\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
von Potenzen der Nullstellen von $F$ schreiben kann.
b) Zeige, dass es kein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{F \in \Q[X]}{} derart geben muss, dass alle $\alpha_i$ Nullstellen von $F$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $G$. Es sei
\mathl{z \in L}{} ein Element derart, dass
\mathbed {\varphi(z)} {}
{\varphi \in G} {}
{} {} {} {,}
eine
$K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $L$ bildet. Wir betrachten das Polynom
\mathdisp {F = \prod_{\varphi \in G} (X- \varphi(z))} { . }
Zeige, dass die Koeffizienten von $F$ zu $K$ gehören, dass $F$ in $K[X]$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist und dass $L$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$ über $K$ ist.
}
{} {}