Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 26

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass ${}G$ genau dann kommutativ ist, wenn alle Konjugationsklassen einelementig sind.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe und seien ${}x,y\in G$ konjugierte Elemente. Zeige, dass ${}x$ und ${}y$ die gleiche Ordnung besitzen.

Aufgabe

Zeige, dass zwei Permutationen ${}\sigma ,\tau \in S_{n}$ genau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeldarstellung den gleichen Typ haben, d.h. wenn die Anzahl der Zykel und deren Längen übereinstimmen.

Aufgabe

Überprüfe die Klassengleichung für die Permutationsgruppen ${}S_{2},S_{3},S_{4},S_{5}$.

Aufgabe

Überprüfe die Klassengleichung für die eigentliche Würfelgruppe.

Aufgabe

Bestimme zu jeder Permutation ${}\pi \in S_{n}$, ${}n=2,3,4,5$, die Isotropiegruppe ${}G_{\pi }$ und die Konjugationsklasse ${}[\pi ]$, und bestätige die Gleichung

${}\operatorname {ord} {\left(G_{\pi }\right)}\cdot {\#\left([\pi ]\right)}=n!\,$

aus Lemma 26.3.

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}G$ eine endliche Gruppe mit ${}p^{r}$ Elementen. Zeige, dass ${}G$ auflösbar ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq K$, ${}K\subseteq {\mathbb {C} }$, das zeigt, dass zu einem Element ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in K$ die reellen Koordinaten ${}a$ und ${}b$ nicht zu ${}K$ gehören müssen.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl. Zeige, dass der erzeugte Unterkörper ${}\mathbb {Q} (z)$ eine Radikalerweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass jede komplexe Nullstelle von ${}F$ ebenfalls konstruierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ eine konstruierbare Zahl mit dem Minimalpolynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$. Zeige, dass der Zerfällungskörper von ${}F$ eine Radikalerweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine konstruierbare Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$ in einer auflösbaren Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$ liegt.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Galoiserweiterung vom Grad ${}p^{r}$ mit einer Primzahl ${}p$ und ${}r\geq 1$. Zeige, dass es einen echten Zwischenkörper ${}K\subset M\subset L$ gibt, der über ${}K$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K=L_{0}\subset L_{1}\subset \ldots \subset L_{r}=L$ eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen in ${}{\mathbb {C} }$. Zeige, dass es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen ${}L=M_{0}\subset M_{1}\subset \ldots \subset M_{s}=M$ derart gibt, dass ${}K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe

Finde zur Kette aus quadratischen Körpererweiterungen

${}\mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]\subset \mathbb {Q} [{\sqrt[{4}]{2}}]=L\,$

eine Galoiserweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq M$ minimalen Grades mit ${}{\sqrt[{4}]{2}}\in M$.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}K\subseteq L\subseteq M$ endliche Körpererweiterungen. Es sei ${}F\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom, dass über ${}M$ in Linearfaktoren zerfalle. Der Zwischenkörper ${}L$ enthalte keine Nullstelle von ${}F$. Folgt daraus, dass ${}F$ irreduzibel über ${}L$ ist?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ eine Körpererweiterung in ${}{\mathbb {C} }$ und es sei ${}K\subseteq L$ der Unterkörper, der aus allen konstruierbaren Zahlen in ${}L$ besteht. Zeige, dass für jeden Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}\mathbb {Q} )$ die Beziehung ${}\varphi (K)\subseteq K$ gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ algebraische Zahlen.

a) Zeige, dass es ein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ derart gibt, dass man alle ${}\alpha _{i}$ als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von Potenzen der Nullstellen von ${}F$ schreiben kann.

b) Zeige, dass es kein irreduzibles Polynom ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ derart geben muss, dass alle ${}\alpha _{i}$ Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}G$. Es sei ${}z\in L$ ein Element derart, dass ${}\varphi (z)$, ${}\varphi \in G$, eine ${}K$- Basis von ${}L$ bildet. Wir betrachten das Polynom

$F=\prod _{\varphi \in G}(X-\varphi (z)).$

Zeige, dass die Koeffizienten von ${}F$ zu ${}K$ gehören, dass ${}F$ in ${}K[X]$ irreduzibel ist und dass ${}L$ der Zerfällungskörper von ${}F$ über ${}K$ ist.