Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 18

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und seien ${}f,g\neq 0$ Nichteinheiten.

Dann gibt es einen maximalen Exponenten ${}n$ mit ${}f=g^{n}h$.

Beweis

Noetherscher Integritätsbereich/Faktorzerlegung/Exponentschranke/Fakt/Beweis

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell und ${}g\in R$ ein Element, das aufgefasst in ${}R_{p}$ prim ist.

Dann gilt ${}g=hp^{r}$ in ${}R$ mit einer Einheit oder einem Primelement ${}h$.

Beweis

Wir schreiben ${}g=hp^{r}$ mit dem maximal möglichen Exponenten ${}r$, den es nach Lemma 18.1 gibt, und behaupten, dass ${}h$ ein Primelement oder eine Einheit ist. Wir betrachten die Situation, wo ${}h$ keine Einheit ist, und müssen ${}h$ als Primelement nachweisen. Es teile ${}h$ ein Produkt, sagen wir

${}hc=ab\,.$

Daraus ergibt sich in ${}R_{p}$, da ${}h$ wie ${}g$ prim in ${}R_{p}$ ist, dass ${}h$ einen der Faktoren in ${}R_{p}$ teilt. Es gibt also ein ${}d\in R$ mit

${}h{\frac {d}{p^{s}}}=a\,,$

also

${}hd=ap^{s}\,$

in ${}R$. Bei ${}s=0$ ist man fertig. Andernfalls teilt ${}p$, da es ${}h$ wegen der Maximalität des Exponenten nicht teilt, den anderen Faktor ${}d$ und so erhält man

${}h{\frac {d}{p}}=ap^{s-1}\,$

in ${}R$. Induktive Anwendung dieses Arguments liefert das Resultat.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher Integritätsbereich und ${}p\in R$ ein Primelement. Es sei ${}R_{p}$ faktoriell.

Dann ist ${}R$ selbst faktoriell.

Beweis

Sei ${}f\in R$ eine von ${}0$ verschiedene Nichteinheit von ${}R$. In ${}R_{p}$ gilt

${}f={\frac {g_{1}}{p^{n_{1}}}}\cdots {\frac {g_{s}}{p^{n_{s}}}}\,$

mit ${}g_{i}$, die in ${}R_{p}$ prim sind (ein Faktor kann eine Einheit sein). In ${}R$ gilt somit

${}p^{n}f=g_{1}\cdots g_{s}\,.$

Nach Lemma 18.2 ist

${}g_{i}=h_{i}p^{r_{i}}\,$

mit Primelementen oder Einheiten ${}h_{i}$. Somit ist

${}p^{n}f=p^{r+r_{1}+\cdots +r_{s}}h_{1}\cdots h_{s}\,.$

Da ${}p$ kein Teiler der ${}h_{i}$ ist, kann man ${}p^{n}$ vollständig wegkürzen und erhält eine Zerlegung von ${}f$ in Primfaktoren.

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