Kurs:Lineare Algebra/Teil I/15/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 2 | 4 | 2 | 4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 1 | 3 | 3 | 2 | 12 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
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Aufgabe * (6 (2+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen
Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest.
- Ein Tag heißt sockenzerstreut, wenn er verschiedene Socken anhat.
- Ein Tag heißt schuhzerstreut, wenn er verschiedene Schuhe anhat.
- Ein Tag heißt zerstreut, wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist.
- Ein Tag heißt total zerstreut, wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist.
a) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
b) Vom Jahr weiß man, dass Tage sockenzerstreut und Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im , die durch die beiden Punkte und verläuft.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe ein Beispiel für einen Körper , eine kommutative Gruppe und eine Abbildung
derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer
erfüllt.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - Vektorraum und sei eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn es einen Untervektorraum gibt, für den die Familie eine Basis bildet.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
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Es sei der Körper mit zwei Elementen. Bestimme die Dimension des von den Vektoren
erzeugten Untervektorraumes des .
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- Überführe die Matrixgleichung
in ein lineares Gleichungssystem.
- Löse dieses lineare Gleichungssystem.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Dualbasis.
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Es seien und quadratische Matrizen über einem Körper . Zeige
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Betrachte die beiden Permutationen
Berechne und . Bestimme die Anzahl der Fehlstände und das Vorzeichen von . Man gebe die Zyklendarstellung von und von an. Was ist die Ordnung von ?
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in und in an.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (12 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.