Kurs:Lineare Algebra/Teil I/24/Klausur mit Lösungen/latex

%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}


%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 2 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 3 }

\renewcommand{\asechs}{ 1 }

\renewcommand{\asieben}{ 4 }

\renewcommand{\aacht}{ 4 }

\renewcommand{\aneun}{ 4 }

\renewcommand{\azehn}{ 4 }

\renewcommand{\aelf}{ 1 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }

\renewcommand{\aneunzehn}{ 6 }

\renewcommand{\azwanzig}{ 4 }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 64 }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellezwanzig


\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Der \stichwort {Graph} {} zu einer Abbildung \maabb {F} {L} {M } {.}

}{\stichwort {Äquivalente} {} \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} zur gleichen Variablenmenge über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.

}{Das \stichwort {Bidual} {} zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Eine \stichwort {diagonalisierbare} {} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Der \stichwort {Fixraum} {} zu einem \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}{Eine \stichwort {affin-lineare} {} Abbildung \maabbdisp {\psi} {E} {F } {} zwischen den \definitionsverweis {affinen Räumen}{}{} \mathkor {} {E} {und} {F} {} über den $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathbed {V} {bzw.}
{W} {}
{} {} {} {.} }

}
{

\aufzaehlungsechs{Man nennt
\mathdisp {\Gamma_F={ \left\{ (x,F(x)) \mid x \in L \right\} } \subseteq L \times M} { }
den Graphen der Abbildung $F$. }{Zwei \zusatzklammer {inhomogene} {} {} \definitionsverweis {lineare Gleichungssysteme}{}{} heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen. }{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Dann nennt man den \definitionsverweis {Dualraum}{}{} des Dualraums ${ V }^{ * }$, also
\mathdisp {{ ({ V }^{ * }) }^{ * }} { }
das Bidual von $V$. }{Der Endomorphismus $\varphi$ heißt \stichwort {diagonalisierbar} {,} wenn $V$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} zu $\varphi$ besitzt. }{Unter dem Fixraum zu $\varphi$ versteht man den \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $1$. }{Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {E} {F } {} heißt affin-linear, wenn es eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi (P+v) }
{ =} { \psi(P) + \varphi(v) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{P \in E}{} und
\mathl{v \in V}{} gilt. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.}{Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.}{Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} endlichdimensionale $K$-Vektor\-räume. Es seien \mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ u }} {} Basen von $V$ und \mathkor {} {\mathfrak{ w }} {und} {\mathfrak{ z }} {} Basen von $W$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen \mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {} durch die Matrix
\mathl{M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi)}{} beschrieben werde. Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen \mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ z }} {} durch die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ ( M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { }
beschrieben, wobei \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {} die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von \mathkor {} {\mathfrak{ v }} {nach} {\mathfrak{ u }} {} und von \mathkor {} {\mathfrak{ w }} {nach} {\mathfrak{ z }} {} beschreiben.}{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent. \aufzaehlungvier{$\det M \neq 0$. }{Die Zeilen von $M$ sind linear unabhängig. }{ $M$ ist invertierbar. }{ $\operatorname{rang} \, M=n$. }}{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann ist
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des \definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es seien $A,\, B$ und $C$ Mengen. Beweise die Identität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \setminus { \left( B \cap C \right) } }
{ =} { { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A \setminus { \left( B \cap C \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \notin }{ B \cap C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Letzteres bedeutet \mathkor {} {x \not\in B} {oder} {x \not\in C} {.} Im ersten Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A \setminus B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} im zweiten Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A \setminus C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} in beiden Fällen also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ { \left( A \setminus B \right) } \cup { \left( A \setminus C \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt, so bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A \setminus B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A \setminus C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Im ersten Fall ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \notin }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} im zweiten Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \notin }{ C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \notin }{ B \cap C }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ A \setminus { \left( B \cap C \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Ein Apfelverkäufer verkauft
\mathl{2893}{} Äpfel für $3127$ Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft $3417$ Äpfel für
\mathl{3693}{} Euro. Welches Angebot ist günstiger?

}
{

Wir bestimmen, wie viel die gleiche Menge an Äpfeln bei den beiden Verkäufern kostet. Um die beiden Angebote vergleichen zu können, berechnen wir den jeweiligen Preis für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{2893 \cdot 3417 }
{ =} {9885381 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Äpfel. Beim ersten Verkäufer muss man dafür
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3127 \cdot 3417 }
{ =} {10684959 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Euro bezahlen. Beim zweiten Verkäufer muss man dafür
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{3693 \cdot 2893 }
{ =} { 10683849 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Euro bezahlen. Das zweite Angebot ist also günstiger.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A }
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} quadratische Matrizen der Länge $n$. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq }{i+d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij} }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq }{i+e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für gewisse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d,e }
{ \in }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Einträge
\mathl{c_{ij}}{} des Produktes
\mathl{AB}{} die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{ij} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq }{ i+d+e+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllen.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{ij} }
{ =} { \sum_{k = 1}^n a_{ik} b_{kj} }
{ =} { \sum_{k = 1}^{i+d} a_{ik} b_{kj} + \sum_{k = i+d + 1}^n a_{ik} b_{kj} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Summanden links sind gleich $0$, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ik} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k }
{ \leq }{i+d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{j }
{ \leq }{ i+d+e+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorausgesetzt. Dann gilt für die Indizes im rechten Summanden
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{i+d+1 }
{ \leq} {k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ j }
{ \leq} { i +d+1+e }
{ \leq} {k+e }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{kj} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und auch die rechten Summanden sind $0$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Erläutere, warum das Achsenkreuz im $\R^2$ kein Untervektorraum ist

}
{

Offensichtlich gehören die Vektoren
\mathl{e_1,e_2}{} zum Achsenkreuz, die Summe dieser beiden Vektoren jedoch nicht. Folglich ist das Achsenkreuz kein Untervektorraum


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 3 \\ -2 & 7 & -6 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}

}
{


\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 & 5 \\ 2 & 7 & 5 & 3 \\ -2 & 7 & -6 & 2 \end{pmatrix}} { }

Es geht um das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 4x+y+5w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2x+7y+5z+3w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ - 2x+7y -6 z+2 w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist I+2III gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 15 y -12 z+ 9 w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und II+III ist gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 14 y - z+ 5 w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es ist -IV+12 V gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 153 y + 51 w }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also kann man $w$ frei vorgeben und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ 3 } } w }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ z }
{ =} { 14y +5 w }
{ =} {- 14 { \frac{ 1 }{ 3 } } w + 5w }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 3 } } w }
{ } { }
} {} {}{,}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ x }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( 7y -6 z +2 w \right) } }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( -7 { \frac{ 1 }{ 3 } } w -6 { \frac{ 1 }{ 3 } } w +2 w \right) } }
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 6 } } w }
{ } { }
} {} {}{.} Der Kern ist also
\mathdisp {{ \left\{ w \begin{pmatrix} - { \frac{ 7 }{ 6 } } \\- { \frac{ 1 }{ 3 } }\\ { \frac{ 1 }{ 3 } }\\1 \end{pmatrix} \mid w \in \R \right\} }} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Zeige, dass \mathkor {} {V} {und} {W} {} genau dann zueinander \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.

}
{

Wir nehmen zunächst an, dass $V$ und $W$ isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} existiert. Es sei
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} eine Basis von $W$. Aufgrund der Surjektivität von $\varphi$ existieren Elemente
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} in $V$ mit
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{.}

Es sei
\mathl{a_1v_1+\cdots+ a_nv_n = 0}{} eine Darstellung der 0. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0 }
{ =} { \varphi(0) }
{ =} { \varphi(a_1v_1+\cdots+ a_nv_n) }
{ =} { a_1\varphi(v_1)+\cdots+ a_n\varphi(v_n) }
{ =} { a_1w_1+\cdots+ a_nw_n }
} {} {}{;}

weil
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))  (4) ist die Dimension von $V$ damit mindestens so hoch wie die von $W$. Mithilfe der Umkehrabbildung zu $\varphi$ können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von $W$ mindestens so hoch ist, wie die von $V$. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.

Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen
\mathl{v_1, \ldots , v_n}{} von $V$ und
\mathl{w_1, \ldots , w_n}{} von $W$ gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen
\mathl{\varphi(v_i)=w_i}{} bzw.
\mathl{\psi(w_i)=v_i}{} gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind $V$ und $W$ isomorph.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix}} { . }

}
{

\matabellezweisieben {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -11 & -2 \\0 & 1 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -4 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & -11 & -2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 0 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 9 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\-4 & 1 & 11 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{-5}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{-2}{9} \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix} } } Die inverse Matrix ist also
\mathdisp {\begin{pmatrix} \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & \frac{-5}{9} \\ \frac{4}{9} & \frac{-1}{9} & \frac{-2}{9} \\\frac{-4}{9} & \frac{1}{9} & \frac{11}{9} \end{pmatrix}} { . }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Beschreibung einer linearen Abbildung bei einem Basiswechsel.

}
{

Die linearen Standardabbildungen \maabb {} {K^n} {V } {} bzw. \maabb {} {K^m} {W } {} zu den Basen seien mit
\mathl{\Psi_{ \mathfrak{ v } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ u } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ w } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ z } }}{} bezeichnet. Wir betrachten das \definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}


\mathdisp {\begin{matrix} K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m \\ & \searrow \Psi_{ \mathfrak{ v } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ w } } \swarrow \!\!\!\!\! & \\ \!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & & \, \, \, \, \downarrow M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \\ & \nearrow \Psi_{ \mathfrak{ u } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ z } } \nwarrow \!\!\!\!\! & \\ K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m ,

\!\!\!\!\! 

\end{matrix}} { }

wobei die Kommutativität auf Lemma 9.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Lemma 10.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } }
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} ) \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } }
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } ) }
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ u } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } } )^{-1} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } )^{-1} }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Determinante}{}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 13 & 1 & -1 & -8 & 6 \\ 3 & -2 & 8 & 1 & 4 \\ 5 & 9 & 7 & 3 & 5 \\ 6 & -4 & 16 & 2 & 8 \\ 7 & -10 & 11 & 6 & 9 \end{pmatrix}} { . }

}
{

Die vierte Zeile ist das Doppelte der zweiten Zeile, somit ist die Determinante gleich $0$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Berechne für die \definitionsverweis {Permutation}{}{} \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {2} {5} {3} }
{\mazeileunddrei {8} {6} {1} } die Anzahl der \definitionsverweis {Fehlstände}{}{} und das \definitionsverweis {Vorzeichen}{}{.}

}
{

\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8 } }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {7} {2} {5} {3} }
{\mazeileunddrei {8} {6} {1} }

Die Fehlstände sind
\mathdisp {(1,3),\, (1 ,5 ),\, (1 ,8 ),\, ( 2,3 ),\, ( 2,4 ),\, (2 ,5 ),\, (2 ,7 ),\, (2 ,8 ),\, (3 , 8),\, (4 ,5 ),\, ( 4,8 ),\, (5 ,8 ),\, ( 6, 7),\, (6 ,8 ),\, (7 , 8)} { . }
Dies sind $15$ Fehlstände. Die Permutation ist also ungerade.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ K }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung \maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K } {P} {P(a) } {,} folgende Eigenschaften erfüllt \zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} \aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P+Q)(a) }
{ =} { P(a)+Q(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a) }
{ =} { P(a) \cdot Q(a) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 (a) }
{ =} { 1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{ \sum_{i} a_i X^{i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q }
{ = }{ \sum_{j } b_j X^{j} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P+Q }
{ =} { \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } X^i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes für $K$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P+Q)(z) }
{ =} { { \left( \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } X^i \right) } (z) }
{ =} { \sum_i { \left( a_i+b_i \right) } z^i }
{ =} { \sum_i a_i z^i + \sum_i b_i z^i }
{ =} { { \left( \sum_i a_iX^i \right) } (z) + { \left( \sum_i b_i X^i \right) } (z) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { P(z) +Q(z) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P \cdot Q }
{ =} { \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } X^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist unter Verwendung des Distributivgesetzes und der Potenzgesetze für $K$
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (P \cdot Q)(z) }
{ =} { { \left( \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } X^k \right) } (z) }
{ =} { \sum_k { \left( \sum_{i +j = k } a_i \cdot b_j \right) } z^k }
{ =} { \sum_{i,j} a_i \cdot b_j z^{i+j} }
{ =} { { \left( \sum_i a_i z^i \right) } \cdot { \left( \sum_j b_j z^j \right) } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( \sum_i a_iX^i \right) } (z) \cdot { \left( \sum_j b_j X^j \right) } (z) }
{ =} { P(z) \cdot Q(z) }
{ } {}
{ } {}
} {}{.} }{Für jedes konstante Polynom $a_0$ gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_0 (z) }
{ = }{a_0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da nicht eingesetzt werden kann. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $1085$ und $806$ und schreibe die beiden Zahlen als Vielfache des größten gemeinsamen Teilers.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1085 }
{ =} { 1 \cdot 806 + 279 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806 }
{ =} { 2 \cdot 279 + 248 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{279 }
{ =} { 1 \cdot 248 +31 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{248 }
{ =} { 8 \cdot 31 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der größte gemeinsame Teiler ist also $31$. Aus den Rechnungen erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{806 }
{ =} { 2 \cdot 279 + 248 }
{ =} { 2 ( 248 +31) +248 }
{ =} { 3 \cdot 248 + 2 \cdot 31 }
{ =} { 3 \cdot 8 \cdot 31 + 2 \cdot 31 }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { 26 \cdot 31 }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1085 }
{ =} { 806 +279 }
{ =} { 26 \cdot 31 + 9 \cdot 31 }
{ =} { 35 \cdot 31 }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1 }
{ \neq }{ \lambda_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Elemente in $K$. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) } }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ \in }{\operatorname{Eig}_{ \lambda_1 } { \left( \varphi \right) } \cap \operatorname{Eig}_{ \lambda_2 } { \left( \varphi \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda_1 v }
{ =} { \varphi(v) }
{ =} { \lambda_2 v }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{( \lambda_1-\lambda_2) v }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} woraus wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda_1 }
{ \neq }{\lambda_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} direkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+4)}
{

Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} T & T-1 \\ T+1 & { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper der rationalen Funktionen}{}{}
\mathl{\R(T)}{.} \aufzaehlungzwei {Bestimme das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} von $M$. } {Bestimme, ob $M$ Eigenwerte besitzt. }

}
{

\aufzaehlungzwei {Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M } }
{ =} { \det \begin{pmatrix} X-T & -(T-1) \\ -(T+1) & X- { \frac{ 1 }{ T } } \end{pmatrix} }
{ =} { (X-T) { \left( X- { \frac{ 1 }{ T } } \right) } - (T+1)(T-1) }
{ =} { X^2 - { \left( T + { \frac{ 1 }{ T } } \right) } X +1 -T^2 +1 }
{ =} { X^2 - { \frac{ T^2+1 }{ T } } X -T^2 +2 }
} {} {}{.} } {Wir führen quadratische Ergänzung durch und schreiben dieses Polynom als
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ X^2 - { \frac{ T^2+1 }{ T } } X -T^2 +2 }
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 - { \left( { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 -T^2 +2 }
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 -{ \frac{ T^4+2T^2+1 }{ 4T^2 } } -T^2 +2 }
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 +{ \frac{ -T^4-2T^2-1 - 4T^4 +8T^2 }{ 4T^2 } } }
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 + { \frac{ - 5 T^4+6 T^2- 1 }{ 4T^2 } } }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \left( X - { \frac{ T^2+1 }{ 2T } } \right) }^2 - { \frac{ 5 T^4-6 T^2+ 1 }{ 4T^2 } } }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Für das Polynom
\mathl{A := 5 T^4-6 T^2+ 1}{} gilt:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ A }
{ =} { 5 T^4-6 T^2+ 1 }
{ =} { 5\left( T^4-{ \frac{ 6 }{ 5 } } T^2+ { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) }
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - { \frac{ 9 }{ 25 } } + { \frac{ 1 }{ 5 } } \right) }
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - { \frac{ 4 }{ 25 } } \right) }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { 5\left( \left(T^2-{ \frac{ 3 }{ 5 } }\right)^2 - \left({ \frac{ 2 }{ 5 } }\right)^2 \right) }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{.} Daraus lassen sich direkt die 4 Nullstellen
\mathl{-1, 1, -{ \frac{ 1 }{ \sqrt5 } }, { \frac{ 1 }{ \sqrt5 } }}{} ablesen. Also besteht die Linearfaktorzerlegung von
\mathl{A}{} aus 4 unterschiedlichen Linearfaktoren.
Nach dem Fundamentalsatz der Algebra hat jedes Polynom in
\mathl{\R (T)}{} eine komplexe Linearfaktorzerlegung.
Wir behaupten, dass
\mathl{5 T^4-6 T^2+ 1}{} keine Quadratwurzel in
\mathl{{\mathbb C} (T)}{} (und damit auch in
\mathl{\R (T)}{}) besitzt. Wenn es nämlich eine rationale Funktion
\mathl{P/Q}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A }
{ =} { { \frac{ P^2 }{ Q^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} geben würde, so wäre
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A Q^2 }
{ =} { P^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} doch dann würde die komplexe Linearfaktorzerlegung von $A Q^2$ eine ungerade Anzahl von einem der Linearfaktoren von $A$ enthalten, die komplexe Linearfaktorzerlegung von $P$ jedoch enthält jeden Faktor in gerader Anzahl, was einen Widerspruch ergibt.

Somit besitzt das charakteristische Polynom keine Nullstelle und daher hat die Matrix keinen Eigenwert. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich $c$ seien. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.

}
{

Wenn $M$ eine Diagonalmatrix, so ist $M$ natürlich auch diagonalisierbar. Es sei nun vorausgesetzt, dass $M$ diagonalisierbar ist. Da $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist, ist der konstante Diagonaleintrag $c$ der einzige Eigenwert. Da $M$ diagonalisierbar ist, so ist $M$ nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) die direkte Summe seiner Eigenräume. In diesem Fall gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K^n }
{ =} { \operatorname{Eig}_{ c } { \left( M \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. $M$ ist die \definitionsverweis {Streckung}{}{} mit $c$. Dann ist $M$ eine Diagonalmatrix.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Man gebe ein Polynom $P \in \R[X]$ an, das für unendlich viele reelle $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} ist.

}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{X^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir behaupten, dass dies für sämtliche Matrizen der Form
\mathbeddisp {\begin{pmatrix} 0 & r \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} {mit}
{r \in \R} {und}
{r \neq 0} {} {} {} das Minimalpolynom ist. Eine direkte Rechnung zeigt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & r \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sodass $X^2$ diese Matrizen annulliert. Das Minimalpolynom muss also ein Teiler von $X^2$, und die normierten Teiler sind
\mathl{1,X,X^2}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist $X$ ausgeschlossen, also ist das Minimalpolynom gleich $X^2$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{

Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$.

a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 2 \\ 0 & 7 & -1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} welche nicht?

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -7 E_3 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix mit Rang $1$, daher ist der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $7$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { . }

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 1 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere dia\-gonal\-isierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & -7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & 7 & 0 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 14 \\ 0 & 0 & -7 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung \zusatzklammer {allerdings bezüglich einer anderen Basis} {} {.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Finde eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 6x+3y-5z+w }
{ =} {2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\-2\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\5\\ 3\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\5 \end{pmatrix}} { }
Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems $1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bildet
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\-2\\ 0\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\-2\\ 0\\2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\5\\ 3\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\5\\ 3\\2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\7 \end{pmatrix}} { }
eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.


}