Kurs:Lineare Algebra/Teil I/27/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 3 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 1 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 7 }
\renewcommand{\azehn}{ 5 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 2 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 7 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleneunzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Produktmenge} {} aus zwei Mengen $L$ und $M$.
}{Die \stichwort {lineare Unabhängigkeit} {} von Vektoren $v_1 , \ldots , v_n$ in einem $K$-Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}
}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}
}{Die \stichwort {algebraische Vielfachheit} {} von einem \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $\lambda$ zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.
}{Ein
\stichwort {affiner Unterraum} {}
\mathl{F \subseteq E}{} in einem
\definitionsverweis {affinen Raum}{}{}
$E$ über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Die \stichwort {Dimensionsformel} {} für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {.}}{Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.}{Der Satz über die jordansche Normalform.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2 (1+1)}
{
Ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {x} {x^2 } {,} \aufzaehlungzwei {injektiv? } {surjektiv? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & -3 & 7 \\ 8 & 3 & 1 & 0 & -5 \\ 6 & 2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 5 & 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 0 & 6 & 1 \\ -5 & 2 & 0 \\ 6 & -3 & -2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 1 \\ -2 x &
-3 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, - w & = & -5 \\ 3 x &
+ y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+2 w & = & 3 \\ - x &
\, \, \, \, - y &
+ z &
-3 w & = & -2 \, . \end{matrix}} { }
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg } {} {Claudia4} {Commons} {CC-by-sa 1.0} {}
$\,$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (2+2)}
{
\aufzaehlungzwei {Bestimme die \definitionsverweis {invertierbaren}{}{} $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{.} } {Welche davon sind zu sich selbst invers? }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei $V$ ein zweidimensionaler
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem Körper $K$. Es seien
\mathl{v_1,v_2,v_3}{} und
\mathl{w_1,w_2,w_3}{} Vektoren in $V$, die jeweils paarweise
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
seien. Zeige, dass es eine bijektive
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (v_i)
}
{ \in} { Kw_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1,2,3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) } \times \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) } } { \operatorname{Abb} \, { \left( I \times J , K \right) }
} {(f,g)} { f \otimes g
} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( f \otimes g ) (i,j)
}
{ \defeq} { f(i) \cdot g(j)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise die Leibniz-Formel für die \definitionsverweis {Determinante}{}{} direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde eine Darstellung der $1$ für das Zahlenpaar \mathkor {} {11} {und} {13} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { \sqrt[3]{-1 + \sqrt{2} } + \sqrt[3]{-1 - \sqrt{2} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle des Polynoms
\mathdisp {X^3+3X+2} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme, ob die reelle Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 10 & 4 & 0 \\ -9 & -2 & 0 \\0 & 0 & 11 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{}
und ob sie
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7}
{
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
werde bezüglich der Standardbasis durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine
\definitionsverweis {Basis}{}{,}
bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\0 & 0 & 3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{4x+7y
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im $\Q^ 2$ gegebene Gerade.
}
{} {}