Kurs:Lineare Algebra/Teil I/27/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 2 | 3 | 4 | 1 | 4 | 7 | 5 | 4 | 2 | 6 | 1 | 3 | 3 | 7 | 3 | 2 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
- Der von einer Familie von Vektoren , aus einem - Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
- Die Elementarmatrizen.
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Die
algebraische Vielfachheit
von einem
Eigenwert
zu einer
linearen Abbildung
auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum .
- Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Dimensionsformel
für eine
lineare Abbildung
- Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
- Der Satz über die jordansche Normalform.
Aufgabe (1 Punkt)
Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)
Ist die Abbildung
- injektiv?
- surjektiv?
Aufgabe * (3 Punkte)
Berechne das Matrizenprodukt
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das inhomogene Gleichungssystem
Aufgabe (1 Punkt)
Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
- Bestimme die invertierbaren - Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
- Welche davon sind zu sich selbst invers?
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass
für gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung
mit
multilinear ist.
Aufgabe * (2 Punkte)
Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.
Aufgabe * (1 Punkt)
Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass
eine Nullstelle des Polynoms
ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (7 Punkte)
Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.
Aufgabe * (3 Punkte)
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung
im gegebene Gerade.