Kurs:Lineare Algebra/Teil I/29/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	2	1	5	3	8	3	5	4	3	6	2	4	2	5	3	3	65

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Anna kann sich nicht zwischen Heinrich und Konrad entscheiden, deshalb lässt sie sich vom Zufall leiten. Sie wohnt an einer U-Bahn-Station der Linie ${}5$, die von Heinsheim nach Konsau fährt. Heinrich wohnt in Heinsheim und Konrad in Konsau. Wenn Anna Lust auf ein Date hat, geht sie einfach zu ihrer Station und nimmt die erstbeste U-Bahn, die gerade kommt. Die U-Bahnen fahren in beide Richtungen im Zehn-Minuten-Takt und die U-Bahnen nach Heinsheim fahren ${}:\!01,:\!11,:\!21$ etc. Nach einiger Zeit stellt Anna fest, dass sie Konrad viermal so häufig besucht wie Heinrich. Wann fahren die U-Bahnen nach Konsau ab?

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Was bedeutet das Wort „linear“ in der Linearen Algebra?

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Löse das folgende Minisudoku

   ${\begin{pmatrix}-&-&2&-\\3&-&-&4\\-&-&-&-\\-&4&-&1\end{pmatrix}}.$

2. Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
3. Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Drücke in ${}\mathbb {R} ^{3}$ den Vektor

$(0,0,1)$

als Linearkombination der Vektoren

$(2,3,0),(4,-1,2){\text{ und }}(1,2,1)$

aus.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise das Basisaustauschlemma.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Heidi Gonzales beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Heidelbeeren zu ernähren, und ihre Nahrungszufuhr gleichmäßig über ihre Wachzeit (16 Stunden pro Tag) zu verteilen. Ihr täglicher Kalorienbedarf liegt bei ${}2000$ kcal und ${}100$ Gramm Heidelbeeren enthalten ${}42$ kcal. Eine mittlere Heidelbeere wiegt ${}1,5$ Gramm. In welchem Abstand muss sie sich eine Heidelbeere einwerfen?

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Basis des Urbildes von

${}T=\mathbb {Q} {\begin{pmatrix}7\\1\\12\end{pmatrix}}\subseteq \mathbb {Q} ^{3}\,$

zur linearen Abbildung

$\mathbb {Q} ^{4}\longrightarrow \mathbb {Q} ^{3},\,{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}1&2&3&-1\\0&-1&3&2\\4&1&0&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume. Zeige, dass ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}2&1&3\\0&0&1\\-1&2&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}5&3&7\\0&4&1\\0&-1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen der adjungierten Matrix und der Determinante.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}\varphi (x)=3x^{2}-7x+5\,.$

Bestimme ${}\varphi {\left(u^{2}-2v\right)}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von ${}\varphi +\psi$ bestimmen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme in ${}\mathbb {Z}$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler von ${}1071$ und ${}1029$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}4&3&0\\-5&-1&0\\0&0&11\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beschreibe die affine Gerade

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}1\\7\\2\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}}\mid s\in \mathbb {R} \right\}}\,$

als Urbild über ${}(1,0)$ einer affinen Abbildung ${}\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$.