Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 19/latex
\setcounter{section}{19}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Wie lautet das Ergebnis der Division mit Rest, wenn man ein Polynom $P$ durch $X^m$ teilt?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {((4+{ \mathrm i})X^2-3X+9{ \mathrm i}) \cdot ((-3+7{ \mathrm i})X^2+(2+2{ \mathrm i})X-1+6{ \mathrm i})} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass die Multiplikation auf
\mathl{K[X]}{} assoziativ, kommutativ und distributiv ist und dass das
\zusatzklammer {konstante} {} {}
Polynom $1$ neutrales Element der Multiplikation ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das Ergebnis, wenn man im
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {2X^3-5X^2-4X+7} { }
die Variable $X$ durch die
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
$2-5{ \mathrm i}$ ersetzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einsetzungsabbildung, also die Zuordnung
\maabbeledisp {\psi} {K[X]} {K
} {P} {P(a)
} {,}
folgende Eigenschaften erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P+Q)(a)
}
{ =} { P(a)+Q(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (P \cdot Q)(a)
}
{ =} { P(a) \cdot Q(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 (a)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ gilt: Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beide ungleich $0$ sind, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ PQ
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P+Q)
}
{ \leq} { \max \{ \operatorname{grad} \, (P),\, \operatorname{grad} \, (Q)\}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (P \cdot Q)
}
{ =} { \operatorname{grad} \, (P) + \operatorname{grad} \, (Q)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {X^3+2X^2-3X+4} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ X+2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathdisp {Z^3-(2+ { \mathrm i})Z^2 +3{ \mathrm i}Z+4- 5{ \mathrm i}} { }
in der neuen Variablen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ Z+ 2- { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Q[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=3X^4+7X^2-2X+5} {und} {T=2X^2+3X-1} {} durch.
}
{} {}
Der Körper
\mathl{\Z/(7)}{} wurde in
Beispiel 3.9
vorgestellt.
\inputaufgabe
{}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=5X^4+3X^3+5X^2+3X+6} {und} {T=3X^2+6X+4} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{}
Koeffizienten und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{}
von $P$. Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {konjugiert-komplexe Zahl}{}{}
$\overline{ z }$ eine Nullstelle von $P$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Zeige, dass jedes Polynom
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,}
eine Produktzerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdots (X- \lambda_k)^{\mu_k} \cdot Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu_j
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem nullstellenfreien Polynom $Q$ besitzt, wobei die auftretenden verschiedenen Zahlen
\mathl{\lambda_1 , \ldots , \lambda_k}{} und die zugehörigen Exponenten
\mathl{\mu_1 , \ldots , \mu_k}{} bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Teiler}{}{}
von $P$. Zeige, dass $T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors
\mathl{X-a}{} in $T$ durch seine Vielfachheit in $P$ beschränkt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass es zu ganzen Zahlen $d,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig bestimmte ganze Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ \leq }{ r
}
{ < }{ d
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { dq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass $F$ in
\definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{}
zerfällt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ {\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C}
} { z } { P(z)
} {,}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem Körper
\mathl{K}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid P,Q \in K[X] , \, Q \neq 0 \right\} }} { , }
wobei zwei Brüche
\mathl{{ \frac{ P }{ Q } }}{} und
\mathl{{ \frac{ P' }{ Q' } }}{} genau dann als gleich gelten, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P Q'
}
{ = }{ P' Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Hintereinanderschaltung \zusatzklammer {also das Einsetzen eines Polynoms in ein weiteres} {} {} von zwei Polynomen wieder ein Polynom ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\maabbdisp {f,g,h} {\R} {\R
} {}
Funktionen.
a) Zeige die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \cdot g \right) } \circ f
}
{ =} { { \left( h \circ f \right) } \cdot { \left( g \circ f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( h \circ g \right) } \cdot f
}
{ =} { { \left( h \cdot f \right) } \circ { \left( g \cdot f \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gelten muss.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{K[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem Körper
\mathl{K}{.} Zeige, dass die Menge
\mathdisp {{ \left\{ { \frac{ P }{ Q } } \mid P,Q \in K[X] , \, Q \neq 0 \right\} }} { , }
wobei zwei Brüche
\mathl{{ \frac{ P }{ Q } }}{} und
\mathl{{ \frac{ P' }{ Q' } }}{} genau dann als gleich gelten, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P Q'
}
{ = }{ P' Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, mit einer geeigneten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von zwei \definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{} wieder rational ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltungen}{}{}
\mathkor {} {f \circ g} {und} {g \circ f} {}
der beiden
\definitionsverweis {rationalen Funktionen}{}{}
\mathdisp {f(x)= { \frac{ 2x^2-4x+3 }{ x-2 } } \text{ und } g(x)= { \frac{ x+1 }{ x^2-4 } }} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne im
\definitionsverweis {Polynomring}{}{} ${\mathbb C}[X]$ das Produkt
\mathdisp {{ \left( (4+{ \mathrm i})X^3- { \mathrm i}X^2+2X+3+2{ \mathrm i} \right) } \cdot { \left( (2-{ \mathrm i})X^3+(3-5 { \mathrm i})X^2+(2+{ \mathrm i})X+1+5{ \mathrm i} \right) }} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Führe in ${\mathbb C}[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=(5+ { \mathrm i} )X^4+ { \mathrm i} X^2+(3-2 { \mathrm i} )X-1} {und} {T=X^2+ { \mathrm i} X+3- { \mathrm i}} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Führe in $\Z/(7)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=6X^4+2X^3+4X^2+2X+5} {und} {T=5X^2+3X+2} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^{u}+1
}
{ =} {(X+1) { \left( X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}- \cdots + X^2 - X +1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für $u$ ungerade.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {nichtkonstantes}{}{}
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
mit
\definitionsverweis {reellen}{}{} Koeffizienten. Zeige, dass man $P$ als ein Produkt von reellen Polynomen vom Grad
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
schreiben kann.
}
{} {}
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