Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20
- Die Pausenaufgabe
- Übungsaufgaben
Finde für die folgenden drei Mengen
(die alle die Form besitzen) jeweils ein Polynom
(mit Koeffizienten ) mit
Es sei
ein Endomorphismen auf einem - Vektorraum und ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit
im Allgemeinen nicht gilt.
Es sei ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper und es sei
eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge
ein Hauptideal im Polynomring ist, das vom Minimalpolynom erzeugt wird.
Es sei eine Matrix mit dem Minimalpolynom . Zeige, dass die Streckung mit dem Streckungsfaktor ist.
Wir besprechen die
Minimalpolynome
zu den
Elementarmatrizen.
a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix gleich ist.
b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix mit
gleich
ist.
c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix von der Form
ist. Was ist dabei ?
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum und
eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu drei Möglichkeiten gibt, nämlich und .
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine - Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.
Es sei eine - Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei
eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.
Wir betrachten die lineare Abbildung
die durch festgelegt ist. Zeige, dass nur vom Nullpolynom annulliert wird.
- Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie
Welches Bildungsgesetz liegt der Folge
(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei
ein Endomorphismus auf einem - Vektorraum und
ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom die Gleichheit
gilt.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).
- Ist wachsend?
- Ist surjektiv?
- Ist injektiv?
- Besitzt einen Fixpunkt?
- Die Weihnachtsaufgabe
Aufgabe (10 Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht. Unter einem Zykel von der Länge verstehen wir ein derart, dass ( bezeichnet die -te Hintereinanderschaltung von mit sich selbst) und ist für . Besitzt Zykel der Länge ?
(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)
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