Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 20

Gar nicht mehr lange! Wir wünschen schon jetzt frohe Weihnachten!

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$X^{2}-5X+3$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}6&7\\-4&5\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$

Aufgabe

Finde für die folgenden drei Mengen

$\{1,3,5,7,9,\ldots \},\,\{1,2,4,8,16,\ldots \},\,\{9,99,999,9999,99999,\ldots \}$

(die alle die Form ${}\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},\ldots \}$ besitzen)

jeweils ein Polynom

$P(k)=c_{0}+c_{1}k+c_{2}k^{2}+c_{3}k^{3}+c_{4}k^{4}$

(mit Koeffizienten ${}c_{j}\in \mathbb {Q}$) mit

$P(1)=a_{1},\,P(2)=a_{2},\,P(3)=a_{3},\,P(4)=a_{4},\,P(5)=a_{5}.$

Aufgabe *

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$2X^{3}-5X^{2}+7X-4$

die Variable ${}X$ durch die ${}2\times 2$- Matrix

${\begin{pmatrix}4&1\\5&3\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe

Es sei

$f,g\colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismen auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die Gleichheit

${}P(f\circ g)=P(f)\circ P(g)\,$

im Allgemeinen nicht gilt.

Aufgabe *

Zu einer ${}2\times 2$- Matrix ${}M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ sei

${}P_{M}:=X^{2}-\operatorname {Spur} {\left(M\right)}X+\det M\,.$

Zeige, dass ${}P_{M}(M)=0$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die Menge

${\left\{P\in K[X]\mid P(f)=0\right\}}$

ein Hauptideal im Polynomring ${}K[X]$ ist, das vom Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ erzeugt wird.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine Matrix mit dem Minimalpolynom ${}X-a$. Zeige, dass ${}M$ die Streckung mit dem Streckungsfaktor ${}a$ ist.

Aufgabe

Wir besprechen die Minimalpolynome zu den Elementarmatrizen.

a) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Vertauschungsmatrix ${}V_{ij}$ gleich ${}X^{2}-1$ ist.

b) Zeige, dass das Minimalpolynom einer skalaren Elementarmatrix ${}S_{k}(s)$ mit ${}s\neq 1$ gleich

$X^{2}-(s+1)X+s$

ist.

c) Zeige, dass das Minimalpolynom einer Additionsmatrix ${}A_{ij}(a)$ von der Form

$(X-1)^{k}$

ist. Was ist dabei ${}k$?

Aufgabe *

Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Projektion. Zeige, dass es für das Minimalpolynom zu ${}\varphi$ drei Möglichkeiten gibt, nämlich ${}X,X-1$ und ${}X(X-1)$.

Aufgabe *

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung. Es sei eine ${}n\times n$- Matrix ${}M$ über ${}K$ gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom ${}P\in K[X]$ mit dem Minimalpolynom zu ${}M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über ${}L$ auffasst.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$ mit dem Minimalpolynom ${}P\in K[X]$. Es sei

${}P=F_{1}\cdots F_{k}\,$

eine Faktorzerlegung in Polynome ${}F_{i}$ von positivem Grad. Zeige, dass ${}F_{i}(M)$ nicht bijektiv ist.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon K^{(\mathbb {N} )}\longrightarrow K^{(\mathbb {N} )},$

die durch ${}e_{n}\mapsto e_{n+1}$ festgelegt ist. Zeige, dass ${}\varphi$ nur vom Nullpolynom annulliert wird.

Die Weihnachtsaufgabe für die ganze Familie

Aufgabe

Welches Bildungsgesetz liegt der Folge

$1,\,11,\,21,\,1211,\,111221,\,312211,\,...$

zugrunde?

(Es wird behauptet, dass diese Aufgabe für Grundschulkinder sehr einfach und für Mathematiker sehr schwierig ist.)

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Man finde ein Polynom ${}f$ vom Grad ${}\leq 3$, für welches

$f(0)=-1,\,f(-1)=-3,\,f(1)=7,\,f(2)=21$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f({\mathrm {i} })=1,\,f(1)=1+{\mathrm {i} },\,f(1-2{\mathrm {i} })=-{\mathrm {i} }.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

$-X^{3}+6X^{2}-6X+27$

die Variable ${}X$ durch die ${}3\times 3$-Matrix

${\begin{pmatrix}5&3&2\\5&4&1\\7&3&0\end{pmatrix}}$

ersetzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei

$f\colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ und

$g\colon V\longrightarrow V$

ein Isomorphismus. Zeige, dass für jedes Polynom ${}P\in K[X]$ die Gleichheit

${}gP(f)g^{-1}=P(gfg^{-1})\,$

gilt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht (die natürlichen Zahlen sind dabei als endliche Ziffernfolgen im Zehnersystem zu verstehen).

1. Ist ${}f$ wachsend?
2. Ist ${}f$ surjektiv?
3. Ist ${}f$ injektiv?
4. Besitzt ${}f$ einen Fixpunkt?

Die Weihnachtsaufgabe

Aufgabe (10 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,$

die dem Bildungsgesetz aus Aufgabe 20.15 entspricht. Unter einem Zykel von ${}f$ der Länge ${}n$ verstehen wir ein ${}x\in \mathbb {N}$ derart, dass ${}f^{n}(x)=x$ (${}f^{n}$ bezeichnet die ${}n$-te Hintereinanderschaltung von ${}f$ mit sich selbst) und ${}f^{i}(x)\neq x$ ist für ${}i=1,2,\ldots ,n-1$. Besitzt ${}f$ Zykel der Länge ${}n\geq 2$?

(Diese Aufgabe ist gesondert abzugeben, die Deckelregel findet für sie keine Anwendung.)