Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Cayley-Hamilton
durch eine explizite Rechnung für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Formuliere den Satz von Cayley-Hamilton für eine $n \times n$-Matrix.
b) Bestätige durch Nachrechnen den Satz von Cayley-Hamilton für die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}} { . }
c) Beweise den Satz von Cayley-Hamilton für eine beliebige $2 \times 2$-Matrix.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Cayley-Hamilton
durch eine explizite Rechnung für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestätige
den Satz von Cayley-Hamilton
für eine
\definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{}
der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & d \\0 & 0 & a \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {diagonalisierbare Matrix}{}{}
mit dem
\definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{}
$\chi_{ M }$. Zeige direkt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Wie findet man die $\operatorname{Spur} { \left( M \right) }$ im \definitionsverweis {charakteristischen Polynom}{}{} $\chi_{ M }$ wieder?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$ mit der Eigenschaft, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
in Linearfaktoren zerfällt, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ =} { (X- \lambda_1)^{\mu_1} \cdot (X- \lambda_2)^{\mu_2} { \cdots } (X-\lambda_k)^{\mu_k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) }
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } \mu_i \lambda_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}
Es sei eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\chi_{ M }
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit dem charakteristischen Polynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei \maabbdisp {\psi=\varphi \oplus \cdots \oplus \varphi} {V \oplus \cdots \oplus V} { V \oplus \cdots \oplus V } {} die $m$-fache \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} von $\varphi$ mit sich selbst. Wie verhält sich das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} \zusatzklammer {das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}} {} {} von $\psi$ zum Minimalpolynom \zusatzklammer {zum charakteristischen Polynom} {} {} von $\varphi$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Schreibe die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4X^2-3X+2 & X^3-2X+8 \\ 3X^4-X^3-2X^2+7 & X^4-6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit Einträgen aus
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \Q[X]
}
{ \subset }{ \Q(X)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
als
\mathdisp {A_4 X^4 + A_3X^3+A_2X^2+A_1X+A_0} { }
mit Matrizen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_4,A_3,A_2,A_1,A_0
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ 2 } (\Q)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $M$ die Menge der $n$-ten
\definitionsverweis {Einheitswurzeln}{}{}
in $K$. Zeige, dass $M$ eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
$K^{\times}$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass jede \definitionsverweis {komplexe Einheitswurzel}{}{} auf dem Einheitskreis liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{F}{} eine komplexe, auf
\mathl{{\mathbb C}}{} konvergente
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { \sum _{ j = 0}^\infty c_{ j n } z^{ j n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für jede $n$-te komplexe Einheitswurzel
\mathl{\zeta}{} die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F( \zeta z)
}
{ = }{F( z)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Eine $n$-te \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn sie die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $n$ besitzt.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine $n$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige die \anfuehrung{Schwerpunktformel}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1}
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_1,b_2
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Lösungen der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b_2
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist ihr Quotient
\mathl{b_1/b_2}{} eine $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{.}
} {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\zeta$ eine $n$-te Einheitswurzel ist, so ist auch $\zeta b$ eine Lösung der Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ X^n
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ die \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} zu einer \definitionsverweis {Transposition}{}{.} Zeige, dass $M$ über $\R$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei der Zykel
\mathl{1 \mapsto 2 \mapsto 3 \mapsto \ldots \mapsto n \mapsto 1}{} gegeben und sei $M$ die zugehörige
$n \times n$-\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
über einem Körper $K$.
a) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom Grad
\mathl{< n}{.} Erstelle eine Formel für
\mathl{(P(M))(e_1)}{.}
b) Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $M$.
c) Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{}
$\varphi$ auf einem reellen Vektorraum $V$ mit untereinander verschiedenen Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_2)
}
{ = }{ v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_3)
}
{ = }{ v_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt und dass das Minimalpolynom von $\varphi$ nicht
\mathl{X^3-1}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Von einer
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ S_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei die
\definitionsverweis {Zyklenzerlegung}{}{}
bekannt. Bestimme das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
und das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
der
\definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{}
$M_\pi$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.} Zeige, dass jede \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $K$ eine \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit $3$ Elementen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {endlicher Körper}{}{} und $M$ eine \definitionsverweis {invertierbare}{}{} $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. Zeige, dass $M$ endliche \definitionsverweis {Ordnung}{}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ 2 } \! { \left( \Q \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$4$ an.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestätige
den Satz von Cayley-Hamilton
für die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 & 4 & 5 \\ 6 & 3 & 8 \\2 & 2 & 1 \end{pmatrix}} { }
durch eine explizite Rechnung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { a_0 +a_1X + \cdots + a_m X^m
}
{ \in} { K[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Polynom mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(M)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_0
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist und dass die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{-1}
}
{ =} { - { \frac{ 1 }{ a_0 } } { \left( a_1+ a_2 M + \cdots + a_m M^{m-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
und
\maabbdisp {\psi} {W} {W
} {}
\definitionsverweis {Endomorphismen}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Minimalpolynomen}{}{}
\mathkor {} {P} {bzw.} {Q} {.}
Zeige, dass das Minimalpolynom von
\maabbdisp {\varphi \oplus \psi} { V \oplus W} { V \oplus W
} {}
gleich dem
\definitionsverweis {normierten}{}{}
\definitionsverweis {Erzeuger}{}{}
des
\definitionsverweis {Ideals}{}{}
\mathl{(P) \cap (Q)}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Permutationsmatrix}{}{} über ${\mathbb C}$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.
}
{} {}
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