Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&5&3\\7&4&2\\3&7&5\end{pmatrix}}.$

Übungsaufgaben

Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte der linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}-2&-4&2\\0&2&3\\0&6&1\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

Aufgabe

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

${\begin{pmatrix}5&7\\3&4\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Zeige, dass für jedes ${}\lambda \in K$ die Beziehung

${}\chi _{M}(\lambda )=\det \left(\lambda E_{n}-M\right)\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Wie findet man die Determinante von ${}M$ im charakteristischen Polynom ${}\chi _{M}$ wieder?

Aufgabe *

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe *

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenräume der durch die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&5\\0&-1&0\\8&0&5\end{pmatrix}}\,$

gegebenen linearen Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,v\longmapsto Mv.$

Aufgabe *

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}2&1&-2+{\mathrm {i} }\\0&{\mathrm {i} }&1+{\mathrm {i} }\\0&0&-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-4&6&6\\0&2&0\\-3&3&5\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\varphi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Die lineare Abbildung ${}\varphi$ ist ein Isomorphismus.
2. ${}0$ ist kein Eigenwert von ${}\varphi$.
3. Der konstante Term des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist ${}\neq 0$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}1\leq m\leq n$. Man gebe Beispiele für ${}n\times n$- Matrizen ${}M$ derart, dass ${}a$ ein Eigenwert zu ${}M$ ist mit der algebraischen Vielfachheit ${}n$ und der geometrischen Vielfachheit ${}m$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ der Körper mit zwei Elementen und betrachte darüber die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,.$

Zeige, dass das charakteristische Polynom ${}\chi _{M}$ nicht das Nullpolynom ist, dass aber

${}\chi _{M}(\lambda )=0\,$

für alle ${}\lambda \in K$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass eine quadratische Matrix und ihre transponierte Matrix das gleiche charakteristische Polynom besitzen.

Aufgabe *

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ und sei ${}a\in K$ ein Eigenwert zu ${}\varphi$. Zeige, dass ${}a$ auch ein Eigenwert der dualen Abbildung

${\varphi }^{*}\colon {V}^{*}\longrightarrow {V}^{*}$

ist.

Aufgabe *

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen ${}n\times n$- Matrizen ${}M,N$ gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

${}\chi _{M\circ N}=\chi _{M}\chi _{N}\,.$

Nach Definition ist nämlich

${}\chi _{M\circ N}=\det \left(XE_{n}-M\circ N\right)=\det \left(XE_{n}-M\right)\det \left(XE_{n}-N\right)=\chi _{M}\cdot \chi _{N}\,,$

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix, mit dem charakteristischen Polynom

${}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+c_{n-2}X^{n-2}+\cdots +c_{2}X^{2}+c_{1}X+c_{0}\,.$

Bestimme das charakteristische Polynom der mit ${}s\in K$ gestreckten Matrix ${}sM$.

Aufgabe *

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme

$M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

für ${}n=1,2,3,4$.

b) Sei

${}{\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}:=M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,.$

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu ${}M$.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

${}U={\left\{v\in V\mid {\text{ es gibt ein }}n\in \mathbb {N} {\text{ mit }}\varphi ^{n}(v)=0\right\}}\,$

definierte Teilmenge von ${}V$ ein ${}\varphi$- invarianter Unterraum ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass

${}R(U)={\left\{\varphi \in \operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\mid U{\text{ ist ein }}\varphi -{\text{invarianter Untervektorraum}}\right\}}\,$

mit der natürlichen Addition und Multiplikation von Endomorphismen ein Ring und ein Untervektorraum von ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ ist. Bestimme die Dimension dieses Raumes.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix

${\begin{pmatrix}-3&8&5\\4&7&1\\2&-4&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume zur Matrix

${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

${}A={\begin{pmatrix}-5&0&7\\6&2&-6\\-4&0&6\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )\,.$

Berechne:

1. die Eigenwerte von ${}A$;
2. die zugehörigen Eigenräume;
3. die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
4. eine Matrix ${}C\in \operatorname {Mat} _{3\times 3}(\mathbb {R} )$ derart, dass ${}C^{-1}AC$ eine Diagonalmatrix ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme für jedes ${}\lambda \in \mathbb {Q}$ die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}3&-4&5\\0&-1&2\\0&0&3\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das charakteristische Polynom der sogenannten Begleitmatrix

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &0&1\\-a_{0}&-a_{1}&\ldots &-a_{n-2}&-a_{n-1}\end{pmatrix}}\,$

gleich

${}\chi _{M}=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine lineare Abbildung. Zeige, dass ${}\varphi$ mindestens einen Eigenvektor besitzt.

Fußnoten