Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 3

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,(a,b)\longmapsto a-b.

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?

Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung

\mathbb {R} _{\geq 0}\times \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,(x,y)\longmapsto \operatorname {min} \,(x,y),

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}S$ eine Menge und

{}G={\left\{F:S\rightarrow S\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}\,.

Zeige, dass ${}G$ mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}x,y\in G$ . Drücke das Inverse von ${}xy$ durch die Inversen von ${}x$ und ${}y$ aus.

Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Ring und seien ${}\spadesuit ,\heartsuit$ und ${}\clubsuit$ Elemente in ${}R$ . Berechne das Produkt

{\left(\spadesuit ^{2}-3\heartsuit \clubsuit \heartsuit -2\clubsuit \heartsuit ^{2}+4\spadesuit \heartsuit ^{2}\right)}{\left(2\spadesuit \heartsuit ^{3}\spadesuit -\clubsuit ^{2}\spadesuit \heartsuit \spadesuit \right)}{\left(1-3\clubsuit \heartsuit \spadesuit \clubsuit ^{2}\heartsuit \right)}.

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f,a_{i},b_{j}\in R$ . Zeige die folgenden Gleichungen:

\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}+\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}=\sum _{k=0}^{\max(n,m)}(a_{k}+b_{k})f^{k}

und

{\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}f^{j}\right)}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}f^{k}{\text{ mit }}c_{k}=\sum _{r=0}^{k}a_{r}b_{k-r}.

Aufgabe *

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{k}b^{n-k}

für ${}n\in \mathbb {N}$ und beliebige Elemente ${}a,b\in K$ in einem Körper ${}K$ .

Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

\{G,U\}

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.

Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge ${}\{0\}$ alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ${}0=1$ ist.

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ ein Körperelement ${}n_{K}$ zuordnen kann, derart, dass ${}0_{K}$ das Nullelement in ${}K$ und ${}1_{K}$ das Einselement in ${}K$ ist und dass

{}(n+1)_{K}=n_{K}+1_{K}\,

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

(n+m)_{K}=n_{K}+m_{K}{\text{ und }}(nm)_{K}=n_{K}\cdot m_{K}

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.

Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

+\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x+y,

und den Graphen der reellen Multiplikation

\cdot \colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper mit ${}2\neq 0$ . Zeige, dass für ${}f,g\in K$ die Beziehung

{}fg={\frac {1}{4}}{\left({\left(f+g\right)}^{2}-{\left(f-g\right)}^{2}\right)}\,

gilt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

{}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige für einen Körper ${}K$ die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ${}a\in K$ ist die Abbildung

\alpha _{a}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x+a,

bijektiv.

(2) Für jedes ${}b\in K$ , ${}b\neq 0$ , ist die Abbildung

\mu _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto bx,

bijektiv.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

{}{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {a+c}{b+d}}\,

bei ${}a,c\in \mathbb {N} _{+}$ (und ${}b,d,b+d\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit ${}a,b,c,d,b+d\neq 0$ , wo diese Regel gilt.