Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Vorlesung 11/latex
\setcounter{section}{11}
\zwischenueberschrift{Untervektorräume unter linearen Abbildungen}
Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden \zusatzklammer {oder Punkte} {} {} abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.
{Lineare Abbildung/Bild und Urbild/Untervektorräume/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi(S) ={ \left\{ \varphi(v) \mid v \in S \right\} }}{} ein Untervektorraum von $W$.
}{Insbesondere ist das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Abbildung ein Untervektorraum von $W$.
}{Für einen Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T) ={ \left\{ v \in V \mid \varphi(v) \in T \right\} }}{} ein Untervektorraum von $V$.
}{Insbesondere ist
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 11.2. }
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \defeq} { \varphi^{-1}(0)
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \varphi(v) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$.
}
Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von $V$.
Wichtig ist das folgende \stichwort {Injektivitätskriterium} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Kern/Injektivität/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
keinen weiteren Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
geben. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^{-1}(0)
}
{ = }{ \{ 0 \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v_1)
}
{ = }{ \varphi(v_2)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist wegen der Linearität
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1 - v_2)
}
{ =} {\varphi(v_1) - \varphi(v_2)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1-v_2
}
{ \in }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_1
}
{ = }{v_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\inputbemerkung
{}
{
Zu einer
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der durch $M$ gegebenen
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {K^n} {K^m
} {x} {Mx
} {,}
einfach der Lösungsraum des homogenen
\definitionsverweis {linearen Gleichungssystems}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Mx
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\zwischenueberschrift{Die Dimensionsformel}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Dimensionsformel} {.}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Dimensionsformel/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und}
\faktvoraussetzung {$V$ sei endlichdimensional.}
\faktfolgerung {Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der Abbildung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ k
}
{ = }{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\zusatzklammer {$k \leq n$} {} {.}
Es sei
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$.
Aufgrund des Basisergänzungssatzes
gibt es Vektoren
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
derart, dass
\mathdisp {u_1 , \ldots , u_k, \, v_1 , \ldots , v_{n-k }} { }
eine Basis von $V$ ist. \teilbeweis {Wir behaupten, dass
\mathdisp {w_j = \varphi(v_j), \, j=1 , \ldots , n-k} { , }
eine Basis des Bildes ist.\leerzeichen{}}{}{}
{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element des Bildes
\mathl{\varphi(V)}{.} Dann gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ w
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dieses $v$ lässt sich mit der Basis als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i u_i + \sum_{ j = 1 }^{ n-k } t_j v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{w
}
{ =} { \varphi(v)
}
{ =} { \varphi { \left( \sum_{i=1}^{ k } s_i u_i + \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{ k } s_i \varphi(u_i) + \sum_{j = 1}^{n- k } t_j \varphi (v_j)
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
}
{}
{}{,}
sodass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der $w_j$ schreiben lässt.
\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der
\definitionsverweis {linearen Unabhängigkeit}{}{}
der
\mathbed {w_j} {}
{j=1 , \ldots , n-k} {}
{} {} {} {,}
sei eine Darstellung der Null gegeben,
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j w_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{j = 1}^{n-k } t_j v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{j = 1}^{n-k } t_j \varphi { \left( v_j \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also gehört
\mathl{\sum_{j=1}^{n-k } t_j v_j}{} zum Kern der Abbildung und daher kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ j = 1 }^{n-k } t_j v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ k } s_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben. Da insgesamt eine Basis von $V$ vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten $0$ sein müssen, also sind insbesondere
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_j
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}}
{}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und $V$ sei endlichdimensional. Dann nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ \defeq} { \dim_{ K } { \left( \operatorname{bild} \varphi \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den \definitionswort {Rang}{} von $\varphi$.
}
Die Dimensionsformel kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( V \right) }
}
{ =} { \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{kern} \varphi \right) } + \operatorname{rang} \, \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ausdrücken.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebene
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R^4
} {\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}} {M\begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
} {.}
Zur Bestimmung des
\definitionsverweis {Kerns}{}{}
müssen wir das
\definitionsverweis {homogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} y+z \\2y+2z\\ x+3y+4z\\2x+4y+6z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lösen. Der Lösungsraum ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { { \left\{ s \begin{pmatrix} 1 \\1\\ -1 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dies ist der Kern von $\varphi$. Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach
der Dimensionsformel
gleich $2$.
}
\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Endlichdimensional/Injektiv surjektiv bijektiv/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$ der gleichen
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn $\varphi$
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus der Dimensionsformel und Lemma 11.3.
\zwischenueberschrift{Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Matrix/Hintereinanderschaltung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Bei der
\definitionsverweis {Korrespondenz}{}{}
zwischen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
und
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
entsprechen sich die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von linearen Abbildungen und die
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{.}}
\faktzusatz {Damit ist folgendes gemeint: es seien
\mathl{U,V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ mit
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_p , \, \mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n \text{ und } \mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} { . }
Es seien
\mathdisp {\psi:U \longrightarrow V \text{ und } \varphi: V \longrightarrow W} { }
lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von
\mathl{\psi,\, \varphi}{} und der Hintereinanderschaltung
\mathl{\varphi \circ \psi}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi \circ \psi )
}
{ =} { ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }(\psi) )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^p & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } ( \psi) }{\longrightarrow} & K^n & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi) }{\longrightarrow} & K^m & \\ \!\!\!\!\! \Psi_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & \!\!\!\!\! \Psi_{ \mathfrak{ v } } \downarrow & & \downarrow \Psi_{ \mathfrak{ w } } \!\!\!\!\! & & \\ U & \stackrel{ \psi }{\longrightarrow} & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W
&\!\!\!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf der Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
aus
Lemma 10.13
beruht. Dabei sind die
\zusatzklammer {inversen} {} {}
\definitionsverweis {Koordinatenabbildungen}{}{}
$\psi_ \mathfrak{ v }$ jeweils bijektiv, und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi)
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi \circ \psi)
}
{ =} { \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ ( \varphi \circ \psi) \circ \Psi_ \mathfrak{ u }
}
{ =} { { \left( \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \right) } \circ { \left( \Psi_ \mathfrak{ v } \circ \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1} \right) } \circ { \left( \psi \circ \Psi_ \mathfrak{ u } \right) }
}
{ =} { { \left( \Psi_ \mathfrak{ w }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_ \mathfrak{ v } \right) } \circ { \left( \Psi_ \mathfrak{ v }^{-1} \circ \psi \circ \Psi_ \mathfrak{ u } \right) }
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } ( \varphi ) \circ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } } ( \psi)
}
}
{}
{}{,}
wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach
Aufgabe 10.20
stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.
Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.
\zwischenueberschrift{Lineare Abbildungen und Basiswechsel}
\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ u }} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$ und
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
Basen von $W$.
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {und} {\mathfrak{ w }} {}
durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi)}{} beschrieben werde.}
\faktfolgerung {Dann wird $\varphi$ bezüglich der Basen
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ z }} {}
durch die Matrix
\mathdisp {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ ( M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ w }(\varphi) ) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}} { }
beschrieben, wobei
\mathkor {} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {und} {M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } }} {}
die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
sind, die die Basiswechsel von
\mathkor {} {\mathfrak{ v }} {nach} {\mathfrak{ u }} {}
und von
\mathkor {} {\mathfrak{ w }} {nach} {\mathfrak{ z }} {}
beschreiben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die linearen Standardabbildungen
\maabb {} {K^n} {V
} {} bzw.
\maabb {} {K^m} {W
} {}
zu den Basen seien mit
\mathl{\Psi_{ \mathfrak{ v } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ u } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ w } }, \, \Psi_{ \mathfrak{ z } }}{} bezeichnet. Wir betrachten das
\definitionsverweis {kommutative Diagramm}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m \\
& \searrow \Psi_{ \mathfrak{ v } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ w } } \swarrow \!\!\!\!\! & \\
\!\!\!\!\! M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \downarrow & & V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & W & & \, \, \, \, \downarrow M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \\
& \nearrow \Psi_{ \mathfrak{ u } } \!\!\!\!\! & & & & \Psi_{ \mathfrak{ z } } \nwarrow \!\!\!\!\! & \\
K^n & & & \stackrel{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi) }{\longrightarrow} & & & K^m ,
\!\!\!\!\!
\end{matrix}} { }
wobei die Kommutativität auf
Lemma 9.1
und
Lemma 10.13
beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ z } } (\varphi)
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \varphi \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { \Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ w } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} ) \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ v } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ u } } )
}
{ =} { (\Psi_{ \mathfrak{ z } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ w } } ) \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ ( \Psi_{ \mathfrak{ u } }^{-1} \circ \Psi_{ \mathfrak{ v } } )^{-1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ z } } \circ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } } (\varphi) \circ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } )^{-1}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Endlichdimensional/Basiswechsel/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {und} {\mathfrak{ v }} {}
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$.}
\faktfolgerung {Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich
\mathkor {} {\mathfrak{ u }} {bzw.} {\mathfrak{ v }} {}
\zusatzklammer {beidseitig} {} {}
beschreiben, die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^ \mathfrak{ u }_ \mathfrak{ u }(\varphi)
}
{ =} { M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \circ M^ \mathfrak{ v }_ \mathfrak{ v }(\varphi) \circ ( M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } })^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 11.10.