Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 36/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel (Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel). Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Rekapituliere die Begriffe spitzes Dreieck, stumpfes Dreieck, gleichseitiges Dreieck und gleichschenkliges Dreieck.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich ${}180$ Grad ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

In den affinen Ebenen ${}E_{1}$ und ${}E_{2}$ seien nichtausgeartete Dreiecke ${}\Delta _{1}=(A_{1},B_{1},C_{1})$ und ${}\Delta _{2}=(A_{2},B_{2},C_{2})$ gegeben. Zeige, dass es eine bijektive affine Abbildung

$\varphi \colon E_{1}\longrightarrow E_{2}$

gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass sich bei einer Verschiebung einer euklidischen Ebene die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien drei Punkte ${}P_{1},P_{2},P_{3}\in \mathbb {Q} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$ gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

Aufgabe Aufgabe 36.8 ändern

Zeige, dass zwei nichtausgeartete Dreiecke in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander ähnlich sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in einem nichtausgearteten Dreieck maximal einen rechten Winkel gibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme für das Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(0,0),(3,0),(0,5)$ die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen ${}a,b,c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}\neq c^{2}\,.$

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen ${}a,b\in {]0,1[}$ und eine rationale Zahl ${}c\in {]0,1[}$ mit

${}a^{2}+b^{2}=c^{2}\,.$

Ein pythagoreisches Tripel ist eine ganzzahlige Lösung ${}(x,y,z)\in \mathbb {Z} ^{3}$ der diophantischen Gleichung

${}x^{2}+y^{2}=z^{2}\,.$

Es heißt primitiv, wenn ${}x,y,z$ keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}x$ und ${}y$ ungerade. Zeige, dass ${}x^{2}+y^{2}$ keine Quadratzahl ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(x,y,z)$ ein pythagoreisches Tripel. Zeige, dass ${}x$ oder ${}y$ ein Vielfaches von ${}3$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere ein Dreieck ${}D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck ${}D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von ${}D_{1}$ und ${}D_{2}$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

Aufgabe Aufgabe 36.16 ändern

Beweise den Höhensatz.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei ${}A,B,C$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an ${}C$. Es sei ${}M$ der Mittelpunkt der Strecke ${}{\overline {A,B}}$. Dann ist

${}d(C,M)=d(A,M)=d(B,M)\,,$

d.h. ${}C$ liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt ${}M$ durch ${}A$ (und ${}B$).

Aufgabe * Aufgabe 36.18 ändern

Beweise den Kosinussatz.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung

${}c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

zwischen den Seitenlängen ${}a,b,c$ gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe für die beiden Dreiecke

$(2,1),(2,-1),(5,-1)\,\,{\text{ und }}\,\,(-1,1),(1,1),(1,4)$

explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Dreieck im ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit den Eckpunkten ${}(2,-3),(4,1),(5,6),$ die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die Höhengeraden, die Länge der Höhen und die Höhenfußpunkte.

Aufgabe (8 (2+1+1+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei das Dreieck mit den Eckpunkten ${}(4,2,-5),(4,3,7),(-5,0,-6)$ gegeben.

a) Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt.

b) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.

c) Bestimme die Winkel des Dreiecks.

d) Bestimme eine Parameterdarstellung für die Höhengerade durch den Punkt ${}(4,2,-5)$, die Länge dieser Höhe und den zugehörigen Höhenfußpunkt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}A,B,C$ ein Dreieck in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass der Abstand des Eckpunktes ${}C$ zur Seite ${}{\overline {AB}}$ im Punkt ${}A$ oder im Punkt ${}B$ oder im Höhenfußpunkt zur Höhe durch ${}C$ angenommen wird.