Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 42/latex

\setcounter{section}{42}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {selbstadjungierten Endomorphismen}{}{} von $V$ einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} {V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass auch die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} \maabbdisp {\varphi{{|}}_U} {U} {U } {} normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {normal }{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {adjungierte Endomorphismus}{}{}
\mathl{\hat{ \varphi }}{} normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ =} { \operatorname{kern} \hat{ \varphi } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V }
{ =} {V_1 \oplus V_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} der Untervektorräume \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {,} die zueinander orthogonal seien. Es seien \maabbdisp {\varphi_1} {V_1} {V_1 } {} und \maabbdisp {\varphi_2} {V_2} {V_2 } {} \definitionsverweis {normale Endomorphismen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi }
{ =} { \varphi_1 \oplus \varphi_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Summe davon. Zeige, dass auch $\varphi$ normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass die Menge der \definitionsverweis {normalen Endomorphismen}{}{} von $V$ keinen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }}{} bilden.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-3{ \mathrm i} & 4+5{ \mathrm i} \\ 11-3{ \mathrm i} & 6+9{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {} {{\mathbb C}^2} {{\mathbb C}^2 } {} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des ${\mathbb C}^2$ aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-5{ \mathrm i} & 3-4{ \mathrm i} & 1+5{ \mathrm i} \\ 0 & 1-{ \mathrm i} & 2+9{ \mathrm i} \\6+3{ \mathrm i} & { \mathrm i}-7 & -4{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene lineare Abbildung \maabb {} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des ${\mathbb C}^3$ aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$. Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {Endomorphismus}{}{} und
\mathl{\Psi_\varphi}{} die zugehörige \definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{} im Sinne von Lemma 41.12. Wie verhält sich die beschreibende Matrix von $\varphi$ zur \definitionsverweis {Gramschen Matrix}{}{} zu
\mathl{\Psi_\varphi}{?} Welche Beziehung besteht zur Gramschen Matrix der Form
\mathl{\Theta_\varphi}{,} die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Theta_\varphi (v,w) }
{ =} { \left\langle v , \varphi(w) \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {hermitesche}{}{} \definitionsverweis {Sesquilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass $V$ eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise den Trägheitssatz von Sylvester für eine \definitionsverweis {komplex-hermitesche Form}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^4$ sei \zusatzklammer {neben dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}} {} {} mit der \definitionsverweis {Standard-Minkowski-Form}{}{} versehen. Man gebe eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^4$ an, die bezüglich des Skalarproduktes eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} und bezüglich der Min\-kowski-Form eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $\R^2$ sei \zusatzklammer {neben dem \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}} {} {} mit der \definitionsverweis {Standard-Minkowski-Form}{}{} versehen. Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Basen}{}{} des $\R^2$, die bezüglich des Skalarproduktes eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} und bezüglich der Min\-kowski-Form eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} sind.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} ${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{.} Zeige, dass auch
\mathl{\varphi- \lambda \cdot \operatorname{Id}_{ V }}{} normal ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob es für die durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4+{ \mathrm i} & 6-7{ \mathrm i} & 6+3{ \mathrm i} \\ 4-{ \mathrm i} & 2-{ \mathrm i} & 2-{ \mathrm i} \\5+3{ \mathrm i} & 2{ \mathrm i}-11 & 4+3{ \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gegebene \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {} {{\mathbb C}^3} {{\mathbb C}^3 } {} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} des ${\mathbb C}^3$ aus \definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} ein \definitionsverweis {normaler Endomorphismus}{}{} auf dem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} ${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {selbstadjungiert}{}{} ist, wenn alle \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} von $\varphi$ reell sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Typ}{}{} der Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -5 & 3- { \mathrm i} & -4+{ \mathrm i} \\ 3+{ \mathrm i} & 2 & 7{ \mathrm i} \\-4-{ \mathrm i} & -7{ \mathrm i} & 4 \end{pmatrix}} { . }

}
{} {}