Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ die
\definitionsverweis {idempotenten Elemente}{}{,}
also Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^2
}
{ = }{ e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {linearen Projektionen}{}{}
\maabb {\varphi} {K} {K
} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$ und es sei
\maabb {\varphi} { \R^2} { \R^2
} {}
die Projektion von $\R^2$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Lösungsraum zur linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y+6z
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ \R \begin{pmatrix} 2 \\0\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^3
}
{ =} { L \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und beschreibe die Projektionen auf $L$ und auf $W$ bezüglich der Standardbasis.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Projektion}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass $\varphi$ bezüglich einer geeigneten
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ durch eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & 1& \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 0 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 0
\end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{C
}
{ \subseteq }{\R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der
\definitionsverweis {Abbildung
}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R^3
} {t} { (t,t^2,t^3) = (x,y,z)
} {.}
Skizziere die Bilder von $C$ unter den
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
auf die verschiedenen Koordinatenebenen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {linearen Projektionen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V } {} im Allgemeinen keine Projektion ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vereinfache den Beweis zu Lemma 13.5 mit Hilfe der Dimensionsformel.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} { }
ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass der
\definitionsverweis {Homomorphismenraum}{}{}
\mathdisp {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }} { }
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des
\definitionsverweis {Abbildungsraumes}{}{}
\mathl{\operatorname{ Abb}_{ } ^{ } { \left( V,W \right) }}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $W$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K , W \right) } } {W } { \varphi} { \varphi(1) } {,} ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} von Vektorräumen ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es sei $\operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }$ der
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
von \mathkor {} {V} {nach} {W} {} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Vektor. Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {F} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } {W } {
\varphi } { F(\varphi) := \varphi(v)
} {,}
$K$-linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Matrizenraum}{}{}
\mathl{\operatorname{Mat}_{ 2 } (K)}{} und fixieren die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 9 & -8 \\ -7 & 6 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {\operatorname{Mat}_{ 2 } (K) } {\operatorname{Mat}_{ 2 } (K)
} {M} { A \circ M
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist.
}{Beschreibe die Matrix zu $\varphi$ bezüglich einer geeignet gewählten Basis.
}{Bestimme
\definitionsverweis {Kern}{}{}
und
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $\varphi$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den
\definitionsverweis {Endomorphismenraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } { \left( K^2 \right) }
}
{ = }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K^2 , K^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ist die Abbildung
\maabbeledisp {} { \operatorname{End}_{ } { \left( K^2 \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( K^2 \right) }
} { \varphi } { \varphi \circ \varphi
} {,}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$. Zeige, dass die ersten $n^2+1$ Potenzen\zusatzfussnote {Wir werden später eine deutlich stärkere Aussage kennenlernen} {.} {}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{i = 0 , \ldots , n^2} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
in $\operatorname{Mat}_{ n } (K)$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {U} {V } {} mit einem weiteren Vektorraum $U$ induziert eine lineare Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( U , W \right) } } {f} { f \circ \varphi } {.} } {Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {W} {T } {} mit einem weiteren Vektorraum $T$ induziert eine lineare Abbildung \maabbeledisp {} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , T \right) } } {f} { \psi \circ f } {.} }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere Lemma 13.8 mit Matrizen bezüglich gegebener Basen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein Körper, \mathkor {} {V} {und} {W} {} seien endlichdimensionale $K$-Vektorräume und sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine lineare Abbildung.
a) Zeige: $\varphi$ ist genau dann surjektiv, wenn es eine lineare Abbildung
\maabbdisp {\psi} { W } { V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \psi
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ W }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
b) Es sei nun $\varphi$ surjektiv, es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ \psi:W \rightarrow V \mid \psi \text{ linear} , \, \varphi \circ \psi =
\operatorname{Id}_{ W } \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi_0
}
{ \in }{ S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Definiere eine Bijektion zwischen
\mathkor {} {\operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , \operatorname{kern} \varphi \right) }} {und} {S} {,}
unter der $0$ auf $\psi_0$ abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{End}_{ } \, (V)
}
{ =} { { \left\{ \varphi: V \rightarrow V \mid \varphi \text{ linear} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit der Addition und der
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von Abbildungen ein
\definitionsverweis {Ring}{}{}
ist.
}
{} {}
Den Ring der vorstehenden Aufgabe nennt man \stichwort {Endomorphismenring} {} zu $V$.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {g} { V } { V
} {}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.}
Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\Psi_g} { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } } { \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) }
} { f } { gfg^{-1}
} {,}
ein Vektorraum-Isomorphismus ist und dass darüber hinaus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_g(f_1 \circ f_2)
}
{ =} { \Psi_g(f_1 ) \circ \Psi_g (f_2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi_g(
\operatorname{Id}_{ V } )
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des Raumes der
\definitionsverweis {Endomorphismen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_i)
}
{ \in} { K v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Wie sehen die Matrizen zu einem solchen $\varphi$ bezüglich dieser Basis aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 8 \\7\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 6 \\3\\ 9 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im $\R^3$. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des
\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{,}
der aus allen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} { \R^2
} {}
besteht, die $u$ auf die $x$-Achse und $v$ auf die $y$-Achse abbilden. Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Gerade
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \R \begin{pmatrix} -9 \\8\\ 3 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( \R^3, \R^2 \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Menge der
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{,}
die diese Gerade auf das Achsenkreuz abbildet. Zeige, dass $M$ kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des
\definitionsverweis {Homomorphismenraumes}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und es seien
\maabbdisp {\varphi, \psi} { V } { V
} {}
\definitionsverweis {Automorphismen}{}{}
derart, dass für jeden
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(U)
}
{ = }{ \psi(U)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{ a \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 4 \\-9 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$ und es sei
\maabb {\varphi} { \R^2 } { \R^2
} {}
die Projektion von $\R^2$ auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \R \begin{pmatrix} 3 \\7 \end{pmatrix}
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich dieser Basis. Bestimme die Matrix zu $\varphi$ bezüglich der
\definitionsverweis {Standardbasis}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+4)}
{
a) Zeige, dass die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} { \frac{ 1 \pm \sqrt{1-4bc} }{ 2 } } & b \\ c & { \frac{ 1 \mp \sqrt{1-4bc} }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {Projektionen}{}{}
beschreiben. Dabei sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b,c
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass eine Quadratwurzel
\mathl{\sqrt{1-4bc}}{} existiert.
b) Bestimme sämtliche
\mathl{2 \times 2}{-}Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}} { , }
die eine Projektion beschreiben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_1 , \ldots , \varphi_k
}
{ \in }{ \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , W \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{rang} \, { \left( \varphi_1 + \cdots + \varphi_k \right) }
}
{ \leq} { \sum_{i = 1}^k \operatorname{rang} \, \varphi_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es seien
\mathl{G_1, G_2}{} und
\mathl{H_1, H_2}{} jeweils verschiedene Geraden im $K^3$. Welche
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
hat der Raum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ W
}
{ =} { { \left\{ \varphi \in \operatorname{Hom}_{ K } { \left( K^3 , K^3 \right) } \mid \varphi(G_1) \subseteq H_1 \text{ und } \varphi(G_2) \subseteq H_2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+2+2)}
{
Im $\R^3$ seien die Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 6 \\9\\ -2 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 4 \\-4\\ 7 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir betrachten den
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq} { \operatorname{Hom}_{ \R } { \left( \R^3 , \R^3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der aus allen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
$\varphi$ besteht, die gleichzeitig die beiden folgenden Bedingungen erfüllen:
a)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (u)
}
{ \in }{ \langle \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\0\\ 5 \end{pmatrix} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (v)
}
{ \in }{ \langle \begin{pmatrix} 6 \\-5\\ 4 \end{pmatrix} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $U$.
}{Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter
\definitionsverweis {Basen}{}{}
durch lineare Gleichungen.
}{Beschreibe den entsprechenden Unterraum des Matrizenraums bezüglich passend gewählter Basen durch eine Basis.
}
}
{} {}
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