Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 37/latex
\setcounter{section}{37}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien $E,F$
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {E} {F
} {}
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
der Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} unter $\varphi$ in den Schwerpunkt der Bildpunkte
\mathl{\varphi(P_1) , \ldots , \varphi(P_n)}{} überführt wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Dreieck}{}{} genau dann \definitionsverweis {gleichseitig}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{} mit dem \definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es kein \definitionsverweis {nichtausgeartetes}{}{} \definitionsverweis {gleichseitiges Dreieck}{}{} im $\R^2$ gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Seitenmittelpunktsdreieck eines Dreiecks \definitionsverweis {ähnlich}{}{} zum Ausgangsdreieck ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten
\mathl{(-1,3),(0,-5),(2,1)}{} im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Seitenhalbierenden}{}{.}
Bestimme den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
auf unterschiedliche Arten.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das durch die Standardvektoren
\mathl{e_1,e_2,e_3}{} im $\R^3$ gegebene Dreieck die
\definitionsverweis {Seitenhalbierenden}{}{}
und den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{A,B}{} verschiedene Punkte in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Mittelsenkrechte}{}{}
zu
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
aus allen Punkten besteht, die zu
\mathkor {} {A} {und } {B} {}
den gleichen
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
haben.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{.} Zeige, dass je zwei \definitionsverweis {Mittelsenkrechten}{}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme für das Dreieck mit den Eckpunkten
\mathl{(-2,2),(0,4),(5,0)}{} im $\R^2$ die
\definitionsverweis {Mittelsenkrechten}{}{,}
den
\definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{}
und den Radius des Umkreises.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Im $\R^2$ sei ein
\definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{}
gegeben, wobei die Eckpunkte die Koordinaten
\mathdisp {\begin{pmatrix} x_1 \\y_1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x_2 \\y_2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} x_3 \\y_3 \end{pmatrix}} { }
haben. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d
}
{ =} { 2 (x_1 (y_2 - y_3) + x_2 (y_3 - y_1) + x_3 (y_1 - y_2))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{}
des Dreiecks die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ (x_1^2 + y_1^2) (y_2 - y_3) + (x_2^2 + y_2^2) (y_3 - y_1) + (x_3^2 + y_3^2) (y_1 - y_2) }{ d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ (x_1^2 + y_1^ 2) (x_3 - x_2) + (x_2^2 + y_2^2) (x_1 - x_3) + (x_3^2 + y_3^ 2) (x_2 - x_1) }{ d } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{}
eines
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{}
unter einer
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
und unter einer
\definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{}
auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{}
eines
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{}
unter einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {affin-linearen Abbildung}{}{}
nicht unbedingt auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{v,w}{}
\definitionsverweis {linear unabhängige}{}{}
Vektoren in $\R^2$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Winkelhalbierende}{}{}
zu
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
mit
\mathkor {} {v} {bzw.} {w} {}
den gleichen
\definitionsverweis {Winkel}{}{}
bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Inkreismittelpunkt}{}{}
eines
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{}
unter einer
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
und unter einer
\definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{}
auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Inkreismittelpunkt}{}{}
eines
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{}
unter einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {affin-linearen Abbildung}{}{}
nicht unbedingt auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Skizziere ein Dreieck, bei dem zwei \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{} außerhalb der Dreiecksseiten liegen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in einem \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{} mindestens ein \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{} zwischen den Eckpunkten liegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ ein gleichschenkliges Dreieck mit den Schenkeln im Punkt $A$ und der gegenüberliegenden Seite $a$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Seitenhalbierende}{}{} durch $A$, die \definitionsverweis {Winkelhalbierende}{}{} durch $A$, die \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch $A$ und die \definitionsverweis {Mittelsenkrechte}{}{} zu $a$ übereinstimmen.
}
{} {}
In den folgenden Aufgaben setze man einen naiven Flächeninhaltsbegriff voraus. Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist das Produkt der Seitenlängen und für den Flächeninhalt gilt die Zerlegungseigenschaft
\zusatzklammer {oder Zerschneidungseigenschaft} {} {}
und die Verschiebungsinvarianz.
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass bei einem Parallelogramm der Flächeninhalt gleich der Grundseite mal Höhe ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Begründe, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks gleich ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ \anfuehrung{Grundseite mal Höhe}{} ist \zusatzklammer {gemeint ist ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$ Grundseitenlänge mal Höhenlänge} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{}
eines
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{}
unter einer
\definitionsverweis {Verschiebung}{}{}
und unter einer
\definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{}
auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{}
eines
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreiecks}{}{}
\mathl{(A,B,C)}{} in einer
\definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{}
unter einer
\definitionsverweis {bijektiven}{}{} \definitionsverweis {affin-linearen Abbildung}{}{}
nicht unbedingt auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{}
die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } }
}
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } }
}
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Durch die Punkte
\mathl{A,B,C}{} sei ein Dreieck mit den Seitenlängen
\mathl{a,b,c}{} und den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} gegeben. Es sei $F$ der Flächeninhalt des Dreiecks. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } }
}
{ =} { { \frac{ abc }{ 2F } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird die
\zusatzklammer {eine Variante der} {} {}
\stichwort {Heronsche Formel} {} bewiesen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{2a^2c^2 +2c^2b^2+2a^2b^2 -a^4-b^4-c^4} }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $D$ ein \definitionsverweis {nichtausgeartetes Dreieck}{}{} in der Ebene mit den drei Eckpunkten $A,B,C$. Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Ein Dreieck soll die Grundseite
\mathl{[0,s]}{} und die Höhe $h$ besitzen
\zusatzklammer {\mathlk{s,h >0}{}} {} {.}
Für welchen Höhenfußpunkt $x$ besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir fassen die Menge aller
\zusatzklammer {auch entarteter, geordneter} {} {}
Dreiecke
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ = }{ (A,B,C)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im $\R^2$ über ihre Koordinaten
\mathl{A=(A_1,A_2), B=(B_1,B_2), C=(C_1,C_2)}{} als den
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$\R^6$ auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
multiplizieren.
a) Zeige, dass die Dreiecke
\mathkor {} {\triangle} {und} {s \triangle} {}
mit $\triangle$ nichtausgeartet und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
sind.
b) Es sei $S$ der
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{}
des Dreiecks
\mathl{(A,B,C)}{.} Zeige, dass die Dreiecke
\mathdisp {(A,B,C), \, (B,C,A),\, (C,A,B) \text{ und } (S,S,S)} { }
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
c) Bestimme, ob die folgenden Mengen an Dreiecken
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme ihre Dimension.
\aufzaehlungneun{Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke.
}{Die Menge aller Dreiecke mit $0$ als erstem Eckpunkt.
}{Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt $0$.
}{Die Menge aller
\definitionsverweis {gleichseitigen Dreiecke}{}{.}
}{Die Menge aller Dreiecke, deren
\definitionsverweis {Umkreis}{}{}
der Einheitskreis ist.
}{Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke.
}{Die Menge aller
\definitionsverweis {rechtwinkligen Dreiecke}{}{.}
}{Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in $0$ befindet und deren zweiter Punkt auf der $x$-Achse liegt.
}{Die Menge aller Dreiecke mit
\definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{}
in $0$.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für das Dreieck
\mathl{(0,0), (3,0), (0,4)}{} den
\definitionsverweis {Schwerpunkt}{}{,}
den
\definitionsverweis {Umkreismittelpunkt}{}{,}
den
\definitionsverweis {Inkreismittelpunkt}{}{}
und den
\definitionsverweis {Höhenschnittpunkt}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme für das Dreieck
\mathl{(2,3), (1,8), (6,-5)}{} die
\definitionsverweis {eulersche Gerade}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für das Dreieck
\mathl{(4,-3), (7,2), (-1,5)}{} den Mittelpunkt und den Radius des
\definitionsverweis {Feuerbachkreises}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme für das durch die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\5\\ 6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\4\\ 9 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 3 \\3\\ 5 \end{pmatrix}} { }
gegebene Dreieck im $\R^3$ die
\definitionsverweis {Höhe}{}{}
durch
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\5\\ 6 \end{pmatrix}}{} und den Flächeninhalt des Dreiecks.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Betrachte den Vektorraum aller Dreiecke im $\R^2$ aus Aufgabe 37.28. Ist die Abbildung, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet, eine \definitionsverweis {Linearform}{}{?}
}
{} {}
In der folgenden Aufgabe wird auf die
\definitionsverweis {Konvergenz}{}{}
von Folgen im $\R^2$ Bezug genommen. Sie liegt genau dann vor, wenn beide Komponentenfolgen in $\R$
\definitionsverweis {konvergieren}{}{.}
\inputaufgabe
{6}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Dreieck}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle
}
{ = }{ (A,B,C)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte
\mathl{{ \frac{ 1 }{ 2 } } (A+B), { \frac{ 1 }{ 2 } } (A+C), { \frac{ 1 }{ 2 } } (B+C)}{} gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken $\triangle_n$, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \triangle_1
}
{ = }{ \triangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\triangle_{n+1}$ das Seitenmittelpunktsdreieck zu $\triangle_n$ ist. Es sei
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} eine
\definitionsverweis {Folge}{}{}
in $\R^2$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \in }{ \triangle_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass diese Folge
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
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